Para estudiar los extremos de la función $f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}$, calculamos primero su derivada utilizando la regla de la cadena para una función recíproca:

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero:

Multiplicando ambos miembros por $e^x$, obtenemos $e^{2x} = 1$, lo que implica que $2x = 0$, es decir, $x = 0$.Analizamos el signo de la derivada en los intervalos definidos por el punto crítico:1. Si $x < 0$, entonces $e^x < e^{-x}$, por lo que $e^x - e^{-x} < 0$. Al haber un signo negativo delante en la derivada, $f'(x) > 0$. La función es creciente en $(-\infty, 0)$.2. Si $x > 0$, entonces $e^x > e^{-x}$, por lo que $e^x - e^{-x} > 0$. Esto implica que $f'(x) < 0$. La función es decreciente en $(0, +\infty)$.Puesto que la función es continua en todo $\mathbb{R}$, crece hasta $x = 0$ y decrece a partir de dicho punto, en $x = 0$ se alcanza el máximo absoluto. El valor que alcanza la función en este punto es:

Para los mínimos absolutos, observamos el comportamiento de la función en los extremos del dominio:

Como $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ y la función tiende a $0$ cuando $x$ tiende a infinito, pero nunca alcanza dicho valor, no existe un mínimo absoluto.

Planteamos el límite solicitado:

Al sustituir $x$ por $+\infty$ obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador:

Se mantiene la indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Aplicamos de nuevo la regla de L'Hôpital:

Al evaluar el límite final obtenemos: