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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética, Ley de Ohm
Problema
2026 · Ordinaria · Suplente
B-b1
Examen
b1) Un sensor de frenado ABS, que funciona mediante inducción magnética, se modela como una bobina formada por 800800 espiras. El mecanismo del sistema hace que el flujo que atraviesa una espira varíe como Φ(t)=10−6cos⁡(2πft) Wb\Phi(t) = 10^{-6} \cos (2\pi f t) \text{ Wb}. Si la frecuencia, ff, vale 350 Hz350 \text{ Hz} y el circuito posee una resistencia de 50Ω50 \Omega: i) determine la fuerza electromotriz inducida en la bobina en función del tiempo; ii) calcule la intensidad de corriente máxima que circula por la espira; iii) si se reduce la frecuencia a la mitad, ¿qué variación sufre la fuerza electromotriz inducida máxima?
BobinaFlujo magnéticoFEM inducida+1
i) determine la fuerza electromotriz inducida en la bobina en función del tiempo

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz (FEM) inducida en una bobina de NN espiras es:

E(t)=−NdΦ(t)dt\mathcal{E}(t) = -N \frac{d\Phi(t)}{dt}

Tenemos los siguientes datos:

N=800 espirasN = 800 \text{ espiras}
Φ(t)=10−6cos⁡(2πft) Wb\Phi(t) = 10^{-6} \cos (2\pi f t) \text{ Wb}
f=350 Hzf = 350 \text{ Hz}

Primero, calculamos la derivada del flujo magnético con respecto al tiempo:

dΦ(t)dt=ddt(10−6cos⁡(2πft))\frac{d\Phi(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (10^{-6} \cos (2\pi f t))
dΦ(t)dt=10−6(−2πfsin⁡(2πft))\frac{d\Phi(t)}{dt} = 10^{-6} (-2\pi f \sin (2\pi f t))
dΦ(t)dt=−2πf⋅10−6sin⁡(2πft)\frac{d\Phi(t)}{dt} = -2\pi f \cdot 10^{-6} \sin (2\pi f t)

Ahora, sustituimos este resultado en la Ley de Faraday-Lenz:

E(t)=−N(−2πf⋅10−6sin⁡(2πft))\mathcal{E}(t) = -N (-2\pi f \cdot 10^{-6} \sin (2\pi f t))
E(t)=2πNf⋅10−6sin⁡(2πft)\mathcal{E}(t) = 2\pi N f \cdot 10^{-6} \sin (2\pi f t)

Sustituyendo los valores de NN y ff:

E(t)=2π(800)(350)⋅10−6sin⁡(2π(350)t)\mathcal{E}(t) = 2\pi (800) (350) \cdot 10^{-6} \sin (2\pi (350) t)
E(t)=560000π⋅10−6sin⁡(700πt)\mathcal{E}(t) = 560000\pi \cdot 10^{-6} \sin (700\pi t)
E(t)=0.56πsin⁡(700πt) V\mathcal{E}(t) = 0.56\pi \sin (700\pi t) \text{ V}
ii) calcule la intensidad de corriente máxima que circula por la espira

La fuerza electromotriz máxima se obtiene cuando sin⁡(700πt)=1\sin (700\pi t) = 1:

Emax=0.56π V\mathcal{E}_{\text{max}} = 0.56\pi \text{ V}

Para calcular la intensidad de corriente máxima, utilizamos la Ley de Ohm:

Imax=EmaxRI_{\text{max}} = \frac{\mathcal{E}_{\text{max}}}{R}

Dado que la resistencia del circuito es R=50ΩR = 50 \Omega:

Imax=0.56π V50ΩI_{\text{max}} = \frac{0.56\pi \text{ V}}{50 \Omega}
Imax≈0.56×3.1415950 AI_{\text{max}} \approx \frac{0.56 \times 3.14159}{50} \text{ A}
Imax≈0.03519 AI_{\text{max}} \approx 0.03519 \text{ A}
Imax≈35.19 mAI_{\text{max}} \approx 35.19 \text{ mA}
iii) si se reduce la frecuencia a la mitad, ¿qué variación sufre la fuerza electromotriz inducida máxima?

La expresión general para la fuerza electromotriz máxima es:

Emax=2πNf⋅10−6\mathcal{E}_{\text{max}} = 2\pi N f \cdot 10^{-6}

La frecuencia inicial es f=350 Hzf = 350 \text{ Hz}. La fuerza electromotriz máxima inicial es:

Emax, inicial=0.56π V\mathcal{E}_{\text{max, inicial}} = 0.56\pi \text{ V}

Si la frecuencia se reduce a la mitad, la nueva frecuencia será:

f′=f2=350 Hz2=175 Hzf' = \frac{f}{2} = \frac{350 \text{ Hz}}{2} = 175 \text{ Hz}

Calculamos la nueva fuerza electromotriz máxima con f′f':

Emax, nueva=2π(800)(175)⋅10−6\mathcal{E}_{\text{max, nueva}} = 2\pi (800) (175) \cdot 10^{-6}
Emax, nueva=280000π⋅10−6\mathcal{E}_{\text{max, nueva}} = 280000\pi \cdot 10^{-6}
Emax, nueva=0.28π V\mathcal{E}_{\text{max, nueva}} = 0.28\pi \text{ V}

La variación que sufre la fuerza electromotriz inducida máxima es la diferencia entre la nueva FEM máxima y la inicial:

ΔEmax=Emax, nueva−Emax, inicial\Delta \mathcal{E}_{\text{max}} = \mathcal{E}_{\text{max, nueva}} - \mathcal{E}_{\text{max, inicial}}
ΔEmax=0.28π V−0.56π V\Delta \mathcal{E}_{\text{max}} = 0.28\pi \text{ V} - 0.56\pi \text{ V}
ΔEmax=−0.28π V\Delta \mathcal{E}_{\text{max}} = -0.28\pi \text{ V}

La fuerza electromotriz inducida máxima se reduce en 0.28π V0.28\pi \text{ V} (aproximadamente 0.8796 V0.8796 \text{ V}).