T1: Interacción gravitatoria

Gravedad en otros planetas

Problema

2018 · Ordinaria · Reserva

1A-b

b) Sabiendo que el radio de Marte es

0,531

veces el radio de la Tierra y que la masa de Marte es

0,107

veces la masa de la Tierra. Determine: (i) El valor de la gravedad en la superficie de Marte; (ii) el tiempo que tardaría en llegar al suelo una piedra de

1\text{ kg}

de masa que se deja caer desde una altura de

10\text{ m}

sobre la superficie de Marte.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

cinemáticacaída libreMarte

b) Determinación de la gravedad en Marte y tiempo de caída

Datos del problema: $R_M = 0{,}531 \cdot R_T = 0{,}531 \cdot 6{,}370 \times 10^6 \text{ m} = 3{,}382 \times 10^6 \text{ m}$ $M_M = 0{,}107 \cdot M_T = 0{,}107 \cdot 5{,}98 \times 10^{24} \text{ kg} = 6{,}399 \times 10^{23} \text{ kg}$

(i) Gravedad en la superficie de Marte

La aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta se obtiene igualando la fuerza gravitatoria con la segunda ley de Newton:

g_M = \frac{G \cdot M_M}{R_M^2}

Sustituyendo valores:

g_M = \frac{6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 6{,}399 \times 10^{23}}{(3{,}382 \times 10^6)^2}

g_M = \frac{4{,}268 \times 10^{13}}{1{,}144 \times 10^{13}} = 3{,}73 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

La gravedad en la superficie de Marte es $g_M \approx 3{,}73 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ , lo que representa aproximadamente el $38\%$ de la gravedad terrestre.

(ii) Tiempo de caída desde 10 m en Marte

La piedra se deja caer desde el reposo ( $v_0 = 0$ ) desde una altura $h = 10 \text{ m}$ . Usando la ecuación de movimiento uniformemente acelerado (caída libre):

h = \frac{1}{2} \, g_M \, t^2

Despejando el tiempo:

t = \sqrt{\frac{2h}{g_M}}

Sustituyendo:

t = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{3{,}73}} = \sqrt{\frac{20}{3{,}73}} = \sqrt{5{,}362} \approx 2{,}32 \text{ s}

La piedra tardaría aproximadamente $t \approx 2{,}32 \text{ s}$ en llegar al suelo. Nótese que la masa de la piedra (1 kg) no influye en el tiempo de caída, ya que en ausencia de resistencia del aire todos los cuerpos caen con la misma aceleración.