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T1: Materiales y fabricación
Propiedades mecánicas y ensayos
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
1A
Examen

Se realiza un ensayo de tracción a una probeta de acero con un diámetro de 12 mm12 \text{ mm} y una longitud inicial de 100 mm100 \text{ mm}. Considerando un límite elástico de 225 MPa225 \text{ MPa} y una carga aplicada de 2000 N2000 \text{ N}, se pide:

a) Determinar si la barra experimentará deformación permanente tras retirar la carga aplicada.b) Calcular el módulo de elasticidad considerando un alargamiento total de 0.008 mm0.008 \text{ mm}.c) Determinar el diámetro mínimo para que dicha probeta no registre una deformación permanente al duplicar la carga aplicada.
Ensayo de tracciónMódulo de YoungLímite elástico+1
a) Determinar si la barra experimentará deformación permanente tras retirar la carga aplicada.

Para determinar si la barra experimentará deformación permanente, se calcula el esfuerzo aplicado y se compara con el límite elástico del material. Si el esfuerzo aplicado es menor que el límite elástico, no habrá deformación permanente.Datos:

d0=12 mm=12×10−3 md_0 = 12 \text{ mm} = 12 \times 10^{-3} \text{ m}
F=2000 NF = 2000 \text{ N}
σelaˊstico=225 MPa=225×106 Pa\sigma_{\text{elástico}} = 225 \text{ MPa} = 225 \times 10^6 \text{ Pa}

Fórmulas:

S0=πd024S_0 = \frac{\pi d_0^2}{4}
σaplicada=FS0\sigma_{\text{aplicada}} = \frac{F}{S_0}

Sustitución:

S0=π(12×10−3 m)24=π⋅144×10−64 m2=1.13097×10−4 m2S_0 = \frac{\pi (12 \times 10^{-3} \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 144 \times 10^{-6}}{4} \text{ m}^2 = 1.13097 \times 10^{-4} \text{ m}^2
σaplicada=2000 N1.13097×10−4 m2=17683973.9 Pa=17.68 MPa\sigma_{\text{aplicada}} = \frac{2000 \text{ N}}{1.13097 \times 10^{-4} \text{ m}^2} = 17683973.9 \text{ Pa} = 17.68 \text{ MPa}

Resultado:Comparando el esfuerzo aplicado con el límite elástico:

σaplicada=17.68 MPa\sigma_{\text{aplicada}} = 17.68 \text{ MPa}
σelaˊstico=225 MPa\sigma_{\text{elástico}} = 225 \text{ MPa}

Dado que σaplicada<σelaˊstico\sigma_{\text{aplicada}} < \sigma_{\text{elástico}} (17.68 MPa<225 MPa17.68 \text{ MPa} < 225 \text{ MPa}), la barra NO experimentará deformación permanente tras retirar la carga aplicada.

b) Calcular el módulo de elasticidad considerando un alargamiento total de 0.008 mm0.008 \text{ mm}.

El módulo de elasticidad se calcula como la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria en la zona elástica.Datos:

d0=12 mm=12×10−3 md_0 = 12 \text{ mm} = 12 \times 10^{-3} \text{ m}
L0=100 mm=100×10−3 mL_0 = 100 \text{ mm} = 100 \times 10^{-3} \text{ m}
F=2000 NF = 2000 \text{ N}
ΔL=0.008 mm=0.008×10−3 m\Delta L = 0.008 \text{ mm} = 0.008 \times 10^{-3} \text{ m}

Fórmulas:

S0=πd024S_0 = \frac{\pi d_0^2}{4}
σ=FS0\sigma = \frac{F}{S_0}
ε=ΔLL0\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
E=σεE = \frac{\sigma}{\varepsilon}

Sustitución:Calculamos el área de la sección inicial (ya calculada en el apartado a)):

S0=1.13097×10−4 m2S_0 = 1.13097 \times 10^{-4} \text{ m}^2

Calculamos el esfuerzo (ya calculado en el apartado a)):

σ=17.68 MPa=17.68×106 Pa\sigma = 17.68 \text{ MPa} = 17.68 \times 10^6 \text{ Pa}

Calculamos la deformación unitaria:

ε=0.008×10−3 m100×10−3 m=8×10−5\varepsilon = \frac{0.008 \times 10^{-3} \text{ m}}{100 \times 10^{-3} \text{ m}} = 8 \times 10^{-5}

Calculamos el módulo de elasticidad:

E=17.68×106 Pa8×10−5=2.21×1011 PaE = \frac{17.68 \times 10^6 \text{ Pa}}{8 \times 10^{-5}} = 2.21 \times 10^{11} \text{ Pa}

Resultado:

E=2.21×1011 Pa=221 GPaE = 2.21 \times 10^{11} \text{ Pa} = 221 \text{ GPa}
c) Determinar el diámetro mínimo para que dicha probeta no registre una deformación permanente al duplicar la carga aplicada.

Para que no haya deformación permanente, el esfuerzo aplicado debe ser menor o igual al límite elástico. Por tanto, el diámetro mínimo se calcula igualando el esfuerzo al límite elástico con la nueva carga.Datos:

Foriginal=2000 NF_{\text{original}} = 2000 \text{ N}
Fnueva=2⋅ForiginalF_{\text{nueva}} = 2 \cdot F_{\text{original}}
σelaˊstico=225 MPa=225×106 Pa\sigma_{\text{elástico}} = 225 \text{ MPa} = 225 \times 10^6 \text{ Pa}

Fórmulas:

Fnueva=2⋅ForiginalF_{\text{nueva}} = 2 \cdot F_{\text{original}}
σelaˊstico=FnuevaSmıˊnima\sigma_{\text{elástico}} = \frac{F_{\text{nueva}}}{S_{\text{mínima}}}
Smıˊnima=πdmıˊnimo24S_{\text{mínima}} = \frac{\pi d_{\text{mínimo}}^2}{4}
dmıˊnimo=4Smıˊnimaπd_{\text{mínimo}} = \sqrt{\frac{4 S_{\text{mínima}}}{\pi}}

Sustitución:Calculamos la nueva carga:

Fnueva=2⋅2000 N=4000 NF_{\text{nueva}} = 2 \cdot 2000 \text{ N} = 4000 \text{ N}

Calculamos la sección mínima requerida:

Smıˊnima=Fnuevaσelaˊstico=4000 N225×106 Pa=1.777...×10−5 m2S_{\text{mínima}} = \frac{F_{\text{nueva}}}{\sigma_{\text{elástico}}} = \frac{4000 \text{ N}}{225 \times 10^6 \text{ Pa}} = 1.777... \times 10^{-5} \text{ m}^2

Calculamos el diámetro mínimo:

dmıˊnimo=4⋅1.777...×10−5 m2π=2.2635×10−5 m2=0.004757 md_{\text{mínimo}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 1.777... \times 10^{-5} \text{ m}^2}{\pi}} = \sqrt{2.2635 \times 10^{-5} \text{ m}^2} = 0.004757 \text{ m}

Resultado:

dmıˊnimo=0.004757 m=4.76 mmd_{\text{mínimo}} = 0.004757 \text{ m} = 4.76 \text{ mm}