Para que la función sea continua en su dominio, debe ser continua en los puntos de unión $x = -2$ y $x = 2$. La continuidad en un punto $x_0$ requiere que $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$. Los tramos de la función son polinomios, que son continuos en sus respectivos intervalos abiertos.Continuidad en $x = -2$:

Igualando los límites para la continuidad:

Continuidad en $x = 2$:

Igualando los límites para la continuidad y sustituyendo $a = -2$:

Por lo tanto, para que la función sea continua, los valores son $a = -2$ y $b = 16$.Ahora, estudiemos la derivabilidad para $a = -2$ y $b = 16$. La función es:

Las derivadas de cada tramo son:

Estudiemos la derivabilidad en los puntos de unión $x = -2$ y $x = 2$.Derivabilidad en $x = -2$:

Como $f'(-2^-) \neq f'(-2^+)$, la función no es derivable en $x = -2$.Derivabilidad en $x = 2$:

Como $f'(2^-) = f'(2^+)$, la función es derivable en $x = 2$.En resumen, para $a = -2$ y $b = 16$, la función $f$ es continua pero no es derivable en $x = -2$.

La función es:

La derivada es:

Estudiamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo:En el intervalo $(-4, -2)$: $f'(x) = -2 < 0$. La función es decreciente.En el intervalo $(-2, 2)$: $f'(x) = -4x$. Igualamos a cero para encontrar puntos críticos: $-4x = 0 \implies x = 0$. Analizamos el signo: * Si $x \in (-2, 0)$, por ejemplo $x = -1$, $f'(-1) = -4(-1) = 4 > 0$. La función es creciente. * Si $x \in (0, 2)$, por ejemplo $x = 1$, $f'(1) = -4(1) = -4 < 0$. La función es decreciente.En el intervalo $(2, 3)$: $f'(x) = -8 < 0$. La función es decreciente.Resumiendo la monotonía:* $f(x)$ es decreciente en $[-4, -2]$.* $f(x)$ es creciente en $[-2, 0]$.* $f(x)$ es decreciente en $[0, 3]$.Cálculo de los extremos relativos:* En $x = -2$: La función pasa de decreciente a creciente. Hay un mínimo relativo.

Mínimo relativo en $(-2, 0)$.* En $x = 0$: La función pasa de creciente a decreciente. Hay un máximo relativo.

Máximo relativo en $(0, 8)$.* En $x = 2$: La función pasa de decreciente a decreciente. No hay un extremo relativo.Cálculo de los extremos absolutos:Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio $[-4, 3]$:

Comparando todos los valores:* El valor máximo absoluto es $8$ en $x = 0$.* El valor mínimo absoluto es $-8$ en $x = 3$.

El recinto está limitado por las rectas $x = -2$ y $x = 2$. En este intervalo, la función $f(x)$ es $f(x) = -2x^2 + 8$.Primero, determinamos si la función es positiva o negativa en el intervalo $[-2, 2]$. Los ceros de la función $-2x^2 + 8 = 0$ son $x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Como $f(0) = 8 > 0$, la función es no negativa en todo el intervalo $[-2, 2]$. Por lo tanto, el área se calcula directamente mediante la integral definida:

Calculamos la integral:

El área del recinto es $\frac{64}{3}$ unidades cuadradas.