T5: Probabilidad · Teorema de Bayes y probabilidad total — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2024

Teorema de Bayes y probabilidad total

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Se ha realizado un estudio a personas que están teletrabajando actualmente. De estos, el 72% trabajan por cuenta ajena con contrato indefinido, el 11% lo hacen por cuenta ajena con contrato temporal y el resto trabajan por cuenta propia. El 87% de los que tienen contrato indefinido y el 86% de los que trabajan por cuenta propia piensan que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Además, este estudio ha revelado que el 12.51% de los trabajadores opinan que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar. Seleccionado un teletrabajador al azar, determine la probabilidad de que:

a) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.b) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

Probabilidad totalTeorema de BayesÁrbol de probabilidad

Definimos los siguientes sucesos: $I$ : el teletrabajador trabaja por cuenta ajena con contrato indefinido. $T$ : el teletrabajador trabaja por cuenta ajena con contrato temporal. $P$ : el teletrabajador trabaja por cuenta propia. $M$ : el teletrabajador opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. $M^c$ : el teletrabajador opina que el teletrabajo no mejora la conciliación familiar.A partir de los datos del problema, establecemos las siguientes probabilidades:

P(I) = 0.72

P(T) = 0.11

P(P) = 1 - P(I) - P(T) = 1 - 0.72 - 0.11 = 0.17

P(M | I) = 0.87

P(M | P) = 0.86

P(M^c) = 0.1251

De $P(M^c)$ , podemos obtener $P(M)$ :

P(M) = 1 - P(M^c) = 1 - 0.1251 = 0.8749

Utilizamos el teorema de la probabilidad total para encontrar $P(M | T)$ :

P(M) = P(M | I)P(I) + P(M | T)P(T) + P(M | P)P(P)

0.8749 = (0.87)(0.72) + P(M | T)(0.11) + (0.86)(0.17)

0.8749 = 0.6264 + 0.11 \cdot P(M | T) + 0.1462

0.8749 = 0.7726 + 0.11 \cdot P(M | T)

0.11 \cdot P(M | T) = 0.8749 - 0.7726

0.11 \cdot P(M | T) = 0.1023

P(M | T) = \frac{0.1023}{0.11} = 0.93

a) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tiene un contrato temporal.

Nos piden calcular $P(M | T)$ . Según nuestros cálculos previos:

P(M | T) = 0.93

b) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.

Nos piden calcular $P(P^c | M)$ . Usamos la definición de probabilidad condicionada:

P(P^c | M) = \frac{P(P^c \cap M)}{P(M)}

Sabemos que $P(M) = 0.8749$ .Para calcular $P(P^c \cap M)$ , podemos usar que $P^c = I \cup T$ (ya que los eventos $I$ , $T$ y $P$ son mutuamente excluyentes y forman una partición del espacio muestral).

P(P^c \cap M) = P((I \cup T) \cap M) = P((I \cap M) \cup (T \cap M))

Dado que $I$ y $T$ son sucesos disjuntos, $(I \cap M)$ y $(T \cap M)$ también lo son. Por tanto:

P(P^c \cap M) = P(I \cap M) + P(T \cap M)

Calculamos $P(I \cap M)$ y $P(T \cap M)$ :

P(I \cap M) = P(M | I)P(I) = (0.87)(0.72) = 0.6264

P(T \cap M) = P(M | T)P(T) = (0.93)(0.11) = 0.1023

P(P^c \cap M) = 0.6264 + 0.1023 = 0.7287

Finalmente, calculamos $P(P^c | M)$ :

P(P^c | M) = \frac{0.7287}{0.8749} \approx 0.8329