T1: Interacción gravitatoria · Energía potencial — FISICA PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2016

T1: Interacción gravitatoria

Energía potencial

Teoría

2016 · Extraordinaria · Titular

1B-a

a) Energía potencial asociada a una fuerza conservativa

Energía potencialFuerza conservativa

Energía potencial asociada a una fuerza conservativa

Concepto de fuerza conservativa

Una fuerza es conservativa si el trabajo que realiza sobre una partícula que se desplaza entre dos puntos es independiente del camino seguido y depende únicamente de las posiciones inicial y final. Una consecuencia directa es que el trabajo realizado a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:

\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0

Ejemplos de fuerzas conservativas: la fuerza gravitatoria, la fuerza elástica (resorte) y la fuerza eléctrica de Coulomb. Ejemplos de fuerzas NO conservativas: la fricción o rozamiento, la resistencia del aire.

Definición de energía potencial

A toda fuerza conservativa $\vec{F}$ se le puede asociar una función escalar denominada energía potencial $E_p$ (o $U$ ), definida de modo que el trabajo realizado por la fuerza al desplazar la partícula del punto A al punto B sea igual a la disminución de la energía potencial:

W_{A \to B} = \int_A^B \vec{F} \cdot d\vec{r} = E_{p}(A) - E_{p}(B) = -\Delta E_p

Equivalentemente, la variación de energía potencial es igual al trabajo realizado por la fuerza conservativa cambiado de signo:

\Delta E_p = E_p(B) - E_p(A) = -W_{A \to B}

Relación entre fuerza y energía potencial

La fuerza conservativa se obtiene como el gradiente negativo de la energía potencial. En una dimensión:

F_x = -\frac{dE_p}{dx}

En tres dimensiones, en forma vectorial:

\vec{F} = -\vec{\nabla} E_p = -\left(\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\hat{i} + \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\hat{j} + \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\hat{k}\right)

Ejemplos fundamentales de energía potencial

a) Energía potencial gravitatoria (cerca de la superficie terrestre): Para un cuerpo de masa

m

a una altura

h

sobre una referencia, tomando

E_p = 0

h = 0

E_p = mgh

La fuerza peso actúa hacia abajo ( $-\hat{j}$ ), y el trabajo que realiza al bajar una altura $h$ es $W = mgh$ , que coincide con la disminución de energía potencial.

b) Energía potencial elástica: Para un muelle de constante

k

comprimido o estirado una distancia

x

respecto a su posición de equilibrio:

E_p = \frac{1}{2}k x^2

c) Energía potencial gravitatoria universal: Para dos masas

M

m

separadas una distancia

r

, tomando

E_p = 0

r \to \infty

E_p = -\frac{G M m}{r}

El signo negativo indica que el sistema está ligado: hay que aportar energía para separar los cuerpos hasta el infinito.

Conservación de la energía mecánica

Cuando sobre un sistema solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica total se conserva. Es decir, la suma de la energía cinética $E_c$ y la energía potencial $E_p$ permanece constante:

E_c + E_p = \text{constante} \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{2}mv^2 + E_p = \text{constante}

Esta es la Ley de Conservación de la Energía Mecánica, y constituye una de las herramientas más poderosas para resolver problemas de mecánica: si la fuerza es conservativa, la energía se transforma entre cinética y potencial, pero no se pierde.