T6: Teoría de muestras · Intervalos de confianza — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2021

Intervalos de confianza

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Se quiere estimar la proporción de imprentas de una región que incluyen el uso de celulosa reciclada en los libros que imprimen. Para ello, se ha tomado una muestra aleatoria de $50$ imprentas de esa región y en ella hay $12$ que usan dicho material.

a) Obtenga un intervalo de confianza al

95 \%

, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.b) Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de

0.2

Intervalo de confianzaTamaño de muestraProporción

Los datos proporcionados son:Tamaño de la muestra: $n = 50$ Número de imprentas que usan celulosa reciclada: $x = 12$ Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{12}{50} = 0.24$ Complemento de la proporción muestral: $1 - \hat{p} = 1 - 0.24 = 0.76$

a) Obtenga un intervalo de confianza al

95 \%

, para estimar la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada.

Para un nivel de confianza del $95 \%$ , el valor crítico $z_{\alpha/2}$ se obtiene de la tabla de la distribución normal estándar.El nivel de significancia es $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ . Por lo tanto, $\alpha/2 = 0.025$ .Buscamos $z_{0.025}$ tal que $P(Z < z_{0.025}) = 1 - 0.025 = 0.975$ . El valor correspondiente es $z_{0.025} = 1.96$ .La fórmula del intervalo de confianza para una proporción es:

IC = \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Sustituyendo los valores conocidos:

IC = 0.24 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.24(0.76)}{50}}

IC = 0.24 \pm 1.96 \sqrt{\frac{0.1824}{50}}

IC = 0.24 \pm 1.96 \sqrt{0.003648}

IC = 0.24 \pm 1.96 \cdot 0.0604

IC = 0.24 \pm 0.118384

Calculando los límites del intervalo:

Límite inferior = 0.24 - 0.118384 \approx 0.1216

Límite superior = 0.24 + 0.118384 \approx 0.3584

El intervalo de confianza al $95 \%$ para la proporción real de imprentas que usan celulosa reciclada es $(0.1216, 0.3584)$ .

b) Determine el tamaño mínimo de la muestra de imprentas de esa región que se deben seleccionar para que, manteniendo el mismo nivel de confianza y proporción muestral anteriores, la amplitud del intervalo sea como máximo de

0.2

La amplitud del intervalo de confianza es $A = 2 \cdot E$ , donde $E$ es el error máximo o semiamplitud del intervalo. Se pide que la amplitud sea como máximo $0.2$ , es decir, $A \le 0.2$ .Esto implica que el error máximo debe ser $E \le \frac{0.2}{2} = 0.1$ .La fórmula del error máximo es:

E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}

Con el mismo nivel de confianza, $z_{\alpha/2} = 1.96$ . La proporción muestral anterior es $\hat{p} = 0.24$ .Sustituyendo los valores y estableciendo la desigualdad:

0.1 \ge 1.96 \sqrt{\frac{0.24(0.76)}{n}}

0.1 \ge 1.96 \sqrt{\frac{0.1824}{n}}

Dividimos ambos lados por $1.96$ :

\frac{0.1}{1.96} \ge \sqrt{\frac{0.1824}{n}}

0.0510204 \ge \sqrt{\frac{0.1824}{n}}

Elevamos al cuadrado ambos lados:

(0.0510204)^2 \ge \frac{0.1824}{n}

0.00260308 \ge \frac{0.1824}{n}

Despejamos $n$ :

n \ge \frac{0.1824}{0.00260308}

n \ge 70.071

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero y debe ser al menos el valor calculado, redondeamos al siguiente entero superior.El tamaño mínimo de la muestra es $n = 71$ imprentas.