T3: Vibraciones y ondas · Ondas — FISICA PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2017

Ondas

Problema

2017 · Extraordinaria · Reserva

3A-b

b) En el centro de la superficie de una piscina circular de

10 \text{ m}

de radio se genera una onda armónica transversal de

4 \text{ cm}

de amplitud y una frecuencia de

5 \text{ Hz}

que tarda

5 \text{ s}

en llegar al borde de la piscina. Escriba la ecuación de la onda y calcule la elongación de un punto situado a

6 \text{ m}

del foco emisor al cabo de

12 \text{ s}

amplitudfrecuenciavelocidad de propagación+1

b) Determinación de los parámetros de la onda y ecuación de la onda

Datos del problema:

Radio de la piscina:

R = 10 \text{ m}

Amplitud:

A = 4 \text{ cm} = 0{,}04 \text{ m}

Frecuencia:

f = 5 \text{ Hz}

Tiempo en llegar al borde:

t = 5 \text{ s}

Cálculo de la velocidad de propagación

La onda recorre $10 \text{ m}$ en $5 \text{ s}$ , por tanto:

v = \frac{R}{t} = \frac{10 \text{ m}}{5 \text{ s}} = 2 \text{ m/s}

Cálculo de la longitud de onda y el periodo

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{5} = 0{,}2 \text{ s}

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{2}{5} = 0{,}4 \text{ m}

Número de onda y frecuencia angular

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}4} = 5\pi \text{ rad/m}

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \text{ rad/s}

Ecuación de la onda

La onda se propaga de forma radial desde el centro, por lo que la ecuación de la onda armónica transversal es:

y(x, t) = A \sin\!\left(\omega t - k x\right)

y(x, t) = 0{,}04 \cdot \sin\!\left(10\pi\, t - 5\pi\, x\right) \text{ m}

donde $x$ es la distancia al foco emisor en metros y $t$ el tiempo en segundos.

Elongación del punto a $x = 6 \text{ m}$ en $t = 12 \text{ s}$

Primero comprobamos si la onda ha llegado al punto $x = 6 \text{ m}$ en el instante $t = 12 \text{ s}$ . El tiempo que tarda en llegar es:

t_{llegada} = \frac{x}{v} = \frac{6}{2} = 3 \text{ s}

Como $3 \text{ s} < 12 \text{ s}$ , la onda ya ha llegado al punto. Sustituimos en la ecuación:

y(6, 12) = 0{,}04 \cdot \sin\!\left(10\pi \cdot 12 - 5\pi \cdot 6\right)

y(6, 12) = 0{,}04 \cdot \sin\!\left(120\pi - 30\pi\right) = 0{,}04 \cdot \sin\!\left(90\pi\right)

Como $90\pi = 45 \cdot 2\pi$ , se tiene $\sin(90\pi) = \sin(0) = 0$ :

y(6, 12) = 0{,}04 \cdot 0 = 0 \text{ m}

La elongación del punto situado a $6 \text{ m}$ del foco emisor en el instante $t = 12 \text{ s}$ es $y = 0 \text{ m}$ , es decir, el punto se encuentra en su posición de equilibrio.