T2: Interacción electromagnética

Campo y potencial eléctrico

Problema

2026 · Extraordinaria · Titular

B-b2

b2) Dos cargas iguales

q_1 = q_2 = +2 \text{ }\mu\text{C}

se sitúan en los puntos

A(2,0)

B(0,3) \text{ m}

, respectivamente. i) Haga un esquema y calcule el vector campo eléctrico en el punto

C(2,3) \text{ m}

. ii) Calcule el potencial eléctrico en el punto medio entre las cargas.

Datos:

k = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

Carga eléctricaCampo eléctricoPotencial eléctrico+1

i) Esquema y cálculo del vector campo eléctrico en el punto

C(2,3) \text{ m}

Las cargas $q_1 = +2 \text{ }\mu\text{C}$ y $q_2 = +2 \text{ }\mu\text{C}$ están situadas en $A(2,0)$ y $B(0,3)$ respectivamente. Queremos calcular el campo eléctrico en el punto $C(2,3)$ . Dado que ambas cargas son positivas, los vectores campo eléctrico se alejarán de las cargas. El vector campo eléctrico resultante en el punto $C$ será la suma vectorial de los campos creados por cada carga.

Primero, definimos los vectores de posición desde cada carga hasta el punto $C$ :

\vec{r}_{1C} = C - A = (2-2, 3-0) = (0,3) \text{ m}

La magnitud es $r_{1C} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}$ . El vector unitario es $\hat{u}_{1C} = (0,1) = \vec{j}$ .

\vec{r}_{2C} = C - B = (2-0, 3-3) = (2,0) \text{ m}

La magnitud es $r_{2C} = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \text{ m}$ . El vector unitario es $\hat{u}_{2C} = (1,0) = \vec{i}$ .La fórmula general para el campo eléctrico producido por una carga puntual es:

\vec{E} = k \frac{q}{r^2} \hat{u}_r

Calculamos el campo eléctrico $\vec{E}_1$ en $C$ debido a $q_1$ :

\vec{E}_1 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(3 \text{ m})^2} \vec{j} = (9 \cdot 10^9) \frac{2 \cdot 10^{-6}}{9} \vec{j} = 2 \cdot 10^3 \vec{j} \text{ N/C}

Calculamos el campo eléctrico $\vec{E}_2$ en $C$ debido a $q_2$ :

\vec{E}_2 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{(2 \text{ m})^2} \vec{i} = (9 \cdot 10^9) \frac{2 \cdot 10^{-6}}{4} \vec{i} = 4.5 \cdot 10^3 \vec{i} \text{ N/C}

El vector campo eléctrico total en el punto $C$ es la suma vectorial de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ :

\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (4.5 \cdot 10^3 \vec{i} + 2 \cdot 10^3 \vec{j}) \text{ N/C}

ii) Cálculo del potencial eléctrico en el punto medio entre las cargas.

Primero, determinamos las coordenadas del punto medio $M$ entre las cargas $A(2,0)$ y $B(0,3)$ :

M_x = \frac{2+0}{2} = 1 \text{ m}

M_y = \frac{0+3}{2} = 1.5 \text{ m}

Así, el punto medio es $M(1, 1.5) \text{ m}$ .Ahora, calculamos las distancias de cada carga al punto medio $M$ :

r_{1M} = \sqrt{(1-2)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \text{ m}

r_{2M} = \sqrt{(1-0)^2 + (1.5-3)^2} = \sqrt{(1)^2 + (-1.5)^2} = \sqrt{1 + 2.25} = \sqrt{3.25} \text{ m}

Como se esperaba, las distancias son iguales: $r_{1M} = r_{2M} = \sqrt{3.25} \text{ m}$ .La fórmula general para el potencial eléctrico producido por una carga puntual es:

V = k \frac{q}{r}

El potencial eléctrico total en el punto $M$ es la suma escalar de los potenciales creados por cada carga:

V_M = V_1 + V_2 = k \frac{q_1}{r_{1M}} + k \frac{q_2}{r_{2M}}

Sustituyendo los valores ( $q_1 = q_2 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $r_{1M} = r_{2M} = \sqrt{3.25} \text{ m}$ ):

V_M = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{3.25} \text{ m}}

V_M = \frac{36 \cdot 10^3}{\sqrt{3.25}} \text{ V} \approx \frac{36000}{1.8027756} \text{ V} \approx 19969.34 \text{ V}