T4: Funciones · Derivabilidad y rectas tangente/normal — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2021

Derivabilidad y rectas tangente/normal

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Sea la función derivable $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por

f(x) = \begin{cases} \frac{ax + b}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases}

( $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

a) Determina

a

b

.b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

Función a trozosDerivabilidadRecta tangente+1

a) Determina

a

b

Para que la función $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$ , debe ser continua y derivable en el punto de cambio de definición, que es $x = 0$ .

1. Continuidad en $x = 0$

Para que la función sea continua en $x = 0$ , los límites laterales y el valor de la función en el punto deben ser iguales:

\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax + b}{x - 1} = \frac{a(0) + b}{0 - 1} = -b

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \ln(1 + x) = \ln(1 + 0) = \ln(1) = 0

f(0) = \frac{a(0) + b}{0 - 1} = -b

Igualando los límites:

-b = 0 \implies b = 0

2. Derivabilidad en $x = 0$

Primero, calculamos las derivadas de cada trozo de la función:

f'(x) = \begin{cases} \frac{a(x - 1) - (ax + b)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{ax - a - ax - b}{(x - 1)^2} = \frac{-a - b}{(x - 1)^2} & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{1 + x} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Para que sea derivable en $x = 0$ , las derivadas laterales deben ser iguales:

\lim_{x \to 0^-} f'(x) = \frac{-a - b}{(0 - 1)^2} = -a - b

\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \frac{1}{1 + 0} = 1

Igualando las derivadas laterales:

-a - b = 1

Sustituimos el valor de $b = 0$ encontrado en el paso anterior:

-a - 0 = 1 \implies -a = 1 \implies a = -1

Por lo tanto, los valores son $a = -1$ y $b = 0$ .

b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de

f

en el punto de abscisa

x = 2

El punto de abscisa es $x = 2$ . Dado que $x = 2 > 0$ , utilizamos la segunda parte de la función: $f(x) = \ln(1 + x)$ .

1. Punto de tangencia

El valor de la función en $x = 2$ es:

f(2) = \ln(1 + 2) = \ln(3)

El punto de tangencia es $(2, \ln(3))$ .

2. Pendiente de la recta tangente

La derivada de la función para $x > 0$ es $f'(x) = \frac{1}{1 + x}$ . Evaluamos en $x = 2$ :

m_t = f'(2) = \frac{1}{1 + 2} = \frac{1}{3}

3. Ecuación de la recta tangente

Usamos la fórmula $y - y_0 = m_t(x - x_0)$ :

y - \ln(3) = \frac{1}{3}(x - 2)

y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln(3)

4. Pendiente de la recta normal

La pendiente de la recta normal es la negativa de la inversa de la pendiente de la recta tangente:

m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1/3} = -3

5. Ecuación de la recta normal

Usamos la fórmula $y - y_0 = m_n(x - x_0)$ :

y - \ln(3) = -3(x - 2)

y - \ln(3) = -3x + 6

y = -3x + 6 + \ln(3)