T5: Probabilidad · Probabilidad compuesta y Bayes — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2020

Probabilidad compuesta y Bayes

Problema

2020 · Extraordinaria · Titular

Una empresa fabrica dos tipos de bombillas: una LED y otra halógena. Se sabe que un 5 % de las LED y un 2 % de las halógenas salen defectuosas. Se elige al azar una bombilla de una caja que contiene 40 bombillas LED y 10 halógenas.

a) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.b) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.

ProbabilidadBayesIndustria

Definimos los siguientes sucesos:L: La bombilla elegida es LED.H: La bombilla elegida es halógena.D: La bombilla elegida es defectuosa.ND: La bombilla elegida no es defectuosa.De los datos del problema, tenemos las siguientes probabilidades:

P(L) = \frac{40}{40+10} = \frac{40}{50} = 0.8

P(H) = \frac{10}{40+10} = \frac{10}{50} = 0.2

P(D|L) = 0.05

P(ND|L) = 1 - P(D|L) = 1 - 0.05 = 0.95

P(D|H) = 0.02

P(ND|H) = 1 - P(D|H) = 1 - 0.02 = 0.98

a) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida no sea defectuosa.

Aplicamos el teorema de la probabilidad total para calcular $P(ND)$ :

P(ND) = P(ND|L) \cdot P(L) + P(ND|H) \cdot P(H)

P(ND) = (0.95) \cdot (0.8) + (0.98) \cdot (0.2)

P(ND) = 0.76 + 0.196

P(ND) = 0.956

b) Calcule la probabilidad de que la bombilla elegida sea LED, sabiendo que es defectuosa.

Queremos calcular $P(L|D)$ . Para ello, primero calculamos la probabilidad de que una bombilla sea defectuosa, $P(D)$ . Podemos usar el teorema de la probabilidad total o $P(D) = 1 - P(ND)$ .

P(D) = 1 - P(ND) = 1 - 0.956 = 0.044

Ahora aplicamos el teorema de Bayes:

P(L|D) = \frac{P(D|L) \cdot P(L)}{P(D)}

P(L|D) = \frac{0.05 \cdot 0.8}{0.044}

P(L|D) = \frac{0.04}{0.044}

P(L|D) = \frac{40}{44} = \frac{10}{11} \approx 0.9091