T3: Espacio afín y euclideo · Geometría métrica — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2023

Geometría métrica

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Considera el punto $A(-1, 1, 3)$ y la recta $r$ determinada por los puntos $B(2, 1, 1)$ y $C(0, 1, -1)$ .

a) Halla la distancia del punto

A

a la recta

r

.b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son

A, B

C

Distancia punto a rectaÁrea de un triánguloGeometría analítica

Resolución de Geometría en el Espacio: Distancia y Área

Para resolver este ejercicio, primero identificamos los elementos dados: el punto $A(-1, 1, 3)$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $B(2, 1, 1)$ y $C(0, 1, -1)$ .

a) Halla la distancia del punto

A

a la recta

r

La distancia de un punto $A$ a una recta $r$ (definida por un punto $B$ y un vector director $\vec{v}_r$ ) viene dada por la fórmula:

d(A, r) = \frac{|\vec{BA} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}

Obtenemos el vector director de la recta $\vec{v}_r$ a partir de los puntos $B$ y $C$ , y el vector $\vec{BA}$ que une el punto de la recta con el punto $A$ :

\vec{v}_r = \vec{BC} = (0 - 2, 1 - 1, -1 - 1) = (-2, 0, -2)

\vec{BA} = (-1 - 2, 1 - 1, 3 - 1) = (-3, 0, 2)

Calculamos el producto vectorial $\vec{BA} \times \vec{v}_r$ :

\vec{BA} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & 0 & 2 \\ -2 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (0 - 0) \vec{i} - (6 - (-4)) \vec{j} + (0 - 0) \vec{k} = (0, -10, 0)

Calculamos el módulo del producto vectorial y el módulo del vector director:

|\vec{BA} \times \vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + (-10)^2 + 0^2} = 10

|\vec{v}_r| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Sustituimos en la fórmula de la distancia:

d(A, r) = \frac{10}{2\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}

b) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son

A, B

C

El área de un triángulo con vértices en $A, B$ y $C$ se puede calcular como la mitad del módulo del producto vectorial de dos de los vectores que forman sus lados:

\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{BA} \times \vec{BC}|

Dado que ya hemos calculado que $\vec{BC} = \vec{v}_r$ y que $|\vec{BA} \times \vec{v}_r| = 10$ en el apartado anterior, simplemente aplicamos el valor obtenido:

\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 \text{ unidades}^2