T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Problema

2017 · Ordinaria · Titular

1B-b

b) El planeta Mercurio tiene un radio de

2440 \text{ km}

y la aceleración de la gravedad en su superficie es

3,7 \text{ m s}^{-2}

. Calcule la altura máxima que alcanza un objeto que se lanza verticalmente desde la superficie del planeta con una velocidad de

0,5 \text{ m s}^{-1}

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Lanzamiento verticalConservación de energíaAltura máxima

b) Altura máxima que alcanza el objeto lanzado verticalmente en Mercurio.

Dado que la velocidad inicial es muy pequeña ( $v_0 = 0{,}5 \text{ m/s}$ ) y la altura alcanzada será mínima comparada con el radio de Mercurio ( $R_M = 2440 \text{ km}$ ), podemos considerar la gravedad constante a lo largo del trayecto. Aplicamos la ecuación cinemática de movimiento vertical con deceleración constante:

v^2 = v_0^2 - 2 g h

En el punto más alto, la velocidad es $v = 0$ . Despejando la altura máxima $h$ :

0 = v_0^2 - 2 g h \implies h = \frac{v_0^2}{2g}

Sustituyendo los valores $v_0 = 0{,}5 \text{ m/s}$ y $g = 3{,}7 \text{ m/s}^2$ :

h = \frac{(0{,}5)^2}{2 \cdot 3{,}7} = \frac{0{,}25}{7{,}4} \approx 0{,}0338 \text{ m}

La altura máxima alcanzada por el objeto es aproximadamente $h \approx 3{,}4 \times 10^{-2} \text{ m} \approx 3{,}4 \text{ cm}$ .Verificación: la altura obtenida ( $\sim 3{,}4 \text{ cm}$ ) es despreciable frente al radio de Mercurio ( $2{,}44 \times 10^6 \text{ m}$ ), por lo que la aproximación de gravedad constante es completamente válida.