T1: Interacción gravitatoria

Intensidad del campo gravitatorio

Teoría

2018 · Ordinaria · Reserva

1A-a

a) ¿A qué altura de la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor sobre dicha superficie? Exprese el resultado en función del radio de la Tierra

R_T

campo gravitatorioalturaradio terrestre

a) Buscamos la altura

h

a la que la intensidad del campo gravitatorio es

g_h = \dfrac{g}{4}

La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro de la Tierra es:

g(r) = \frac{GM_T}{r^2}

Sobre la superficie terrestre ( $r = R_T$ ):

g = \frac{GM_T}{R_T^2}

A una altura $h$ sobre la superficie, la distancia al centro es $r = R_T + h$ , por lo que:

g_h = \frac{GM_T}{(R_T + h)^2}

Imponemos la condición $g_h = \dfrac{g}{4}$ :

\frac{GM_T}{(R_T + h)^2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{GM_T}{R_T^2}

Simplificando $GM_T$ :

\frac{1}{(R_T + h)^2} = \frac{1}{4 R_T^2}

Despejando:

(R_T + h)^2 = 4 R_T^2

R_T + h = 2R_T

h = 2R_T - R_T = R_T

La intensidad del campo gravitatorio se reduce a la cuarta parte de su valor en superficie a una altura $h = R_T$ (igual al radio terrestre, aproximadamente $6370$ km).