Para estudiar la posición relativa, primero extraemos el vector normal del plano $\pi \equiv x - 2y + z - 2 = 0$ y el vector director de la recta $r \equiv \{x = 1 + 2\lambda, y = \lambda, z = 1\}$:

Calculamos el producto escalar de ambos vectores para comprobar si la recta es paralela o está contenida en el plano:

Como el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, lo que implica que la recta $r$ es paralela al plano $\pi$ o está contenida en él. Para distinguirlo, comprobamos si un punto de la recta, por ejemplo $A_r(1, 0, 1)$, pertenece al plano sustituyendo sus coordenadas en la ecuación de $\pi$:

Dado que el punto $A_r$ satisface la ecuación del plano, la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$.

Sea $s$ la recta que buscamos. Para que $s$ esté contenida en $\pi$, su vector director $\vec{v_s}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Además, el enunciado indica que $s$ debe ser perpendicular a $r$, por lo que $\vec{v_s}$ también debe ser perpendicular a $\vec{v_r}$. Por tanto, podemos obtener $\vec{v_s}$ mediante el producto vectorial:

Utilizando el punto $P(2, -1, -2)$ y el vector director $\vec{v_s} = (-1, 2, 5)$, escribimos la ecuación paramétrica de la recta $s$: