T4: Funciones · Aplicaciones de la derivada e integral — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2023

Aplicaciones de la derivada e integral

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

BLOQUE B - EJERCICIO 4

Se desea analizar el valor de las acciones de una empresa en un día. La función $v(t)$ nos indica el valor, en euros, de cada acción de la empresa en función del tiempo $t$ , medido en horas, a partir de la hora de apertura del mercado. De la función $v(t)$ se conoce que su variación instantánea es:

v'(t) = t^2 - 5t + 6, \quad t \in [0,6]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

v

.b) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que

v(0) = 10

, halle la función

v

.c) Si un inversor compró

3000

de estas acciones en el instante

t = 2

y posteriormente las vendió en el instante

t = 4

, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.d) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

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a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función

v

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $v(t)$ , analizamos el signo de su derivada $v'(t)$ . Primero, encontramos los puntos críticos igualando $v'(t)$ a cero:

v'(t) = t^2 - 5t + 6 = 0

Factorizando la expresión cuadrática, obtenemos:

(t - 2)(t - 3) = 0

Los puntos críticos son $t = 2$ y $t = 3$ . Estos puntos dividen el intervalo $[0,6]$ en subintervalos donde la función es monótona. Analizamos el signo de $v'(t)$ en cada subintervalo:1. Para $t \in [0,2)$ (por ejemplo, $t=1$ ): $v'(1) = 1^2 - 5(1) + 6 = 2 > 0$ . La función $v(t)$ crece.2. Para $t \in (2,3)$ (por ejemplo, $t=2.5$ ): $v'(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0$ . La función $v(t)$ decrece.3. Para $t \in (3,6]$ (por ejemplo, $t=4$ ): $v'(4) = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0$ . La función $v(t)$ crece.Por lo tanto, los intervalos de crecimiento y decrecimiento son:Intervalos de crecimiento: $[0,2)$ y $(3,6]$ Intervalo de decrecimiento: $(2,3)$

b) Si en el momento de la apertura del mercado se conoce que

v(0) = 10

, halle la función

v

Para hallar la función $v(t)$ , integramos su derivada $v'(t)$ :

v(t) = \int (t^2 - 5t + 6) dt

v(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{5t^2}{2} + 6t + C

Utilizamos la condición inicial $v(0) = 10$ para encontrar la constante de integración $C$ :

v(0) = \frac{0^3}{3} - \frac{5(0)^2}{2} + 6(0) + C = 10

C = 10

Así, la función $v(t)$ es:

v(t) = \frac{t^3}{3} - \frac{5t^2}{2} + 6t + 10

c) Si un inversor compró

3000

de estas acciones en el instante

t = 2

y posteriormente las vendió en el instante

t = 4

, indique a cuánto ascendió la ganancia o la pérdida que obtuvo el inversor con esta gestión.

Calculamos el valor de la acción en el momento de la compra ( $t=2$ ) y en el momento de la venta ( $t=4$ ) usando la función $v(t)$ hallada en el apartado anterior:Valor de compra por acción en $t=2$ :

v(2) = \frac{2^3}{3} - \frac{5(2^2)}{2} + 6(2) + 10 = \frac{8}{3} - \frac{20}{2} + 12 + 10 = \frac{8}{3} - 10 + 12 + 10 = \frac{8}{3} + 12 = \frac{8+36}{3} = \frac{44}{3} \text{ euros}

Valor de venta por acción en $t=4$ :

v(4) = \frac{4^3}{3} - \frac{5(4^2)}{2} + 6(4) + 10 = \frac{64}{3} - \frac{80}{2} + 24 + 10 = \frac{64}{3} - 40 + 24 + 10 = \frac{64}{3} - 6 = \frac{64-18}{3} = \frac{46}{3} \text{ euros}

La ganancia o pérdida por acción es la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra:

\text{Ganancia/Pérdida por acción} = v(4) - v(2) = \frac{46}{3} - \frac{44}{3} = \frac{2}{3} \text{ euros}

Como el valor es positivo, se trata de una ganancia. Para $3000$ acciones, la ganancia total es:

\text{Ganancia total} = 3000 \times \frac{2}{3} = 1000 \times 2 = 2000 \text{ euros}

d) ¿En qué momentos debería haber realizado este inversor las gestiones de compra y de venta para que la ganancia hubiese sido máxima? Justifique su respuesta.

Para que la ganancia sea máxima, el inversor debería haber comprado las acciones en el instante en que su valor fuera mínimo (mínimo global) y venderlas en el instante en que su valor fuera máximo (máximo global) dentro del intervalo $t \in [0,6]$ . Para encontrar los extremos globales, evaluamos $v(t)$ en los puntos críticos ( $t=2$ y $t=3$ ) y en los extremos del intervalo ( $t=0$ y $t=6$ ).Valores calculados:

v(0) = 10

v(2) = \frac{44}{3} \approx 14.67

v(3) = \frac{3^3}{3} - \frac{5(3^2)}{2} + 6(3) + 10 = 9 - \frac{45}{2} + 18 + 10 = 37 - \frac{45}{2} = \frac{74-45}{2} = \frac{29}{2} = 14.5

v(6) = \frac{6^3}{3} - \frac{5(6^2)}{2} + 6(6) + 10 = \frac{216}{3} - \frac{180}{2} + 36 + 10 = 72 - 90 + 36 + 10 = 28

Comparando los valores: $v(0) = 10$ $v(2) \approx 14.67$ $v(3) = 14.5$ $v(6) = 28$ El valor mínimo de la acción es $10$ euros en $t=0$ horas.El valor máximo de la acción es $28$ euros en $t=6$ horas.Por lo tanto, para obtener la máxima ganancia, el inversor debería haber comprado las acciones en el instante $t=0$ (apertura del mercado) y venderlas en el instante $t=6$ (cierre del mercado).Justificación: La ganancia es el resultado de la diferencia entre el precio de venta y el precio de compra. Para maximizar esta diferencia, se debe comprar al precio más bajo posible y vender al precio más alto posible dentro del período de tiempo establecido. Estos corresponden al mínimo absoluto y al máximo absoluto de la función de valor $v(t)$ en el intervalo $[0,6]$ .