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T1: Matrices y determinantes
Rango y ecuaciones matriciales
Problema
2022 · Extraordinaria · Reserva
6
Examen

Considera las matrices:

A=(m131m21m3) y B=(2210−12)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
a) Calcula el rango de la matriz AA según los valores de mm.b) Para m=0m = 0 resuelve la ecuación AX=BAX = B, si es posible.
Rango de matrizEcuación matricialParámetros
a) Calcula el rango de la matriz AA según los valores de mm.

La matriz dada es:

A=(m131m21m3)A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix}

Para calcular el rango de AA, primero calculamos su determinante:

det⁡(A)=m∣m2m3∣−1∣1213∣+3∣1m1m∣=m(3m−2m)−1(3−2)+3(m−m)=m(m)−1(1)+3(0)=m2−1\begin{aligned} \det(A) &= m \begin{vmatrix} m & 2 \\ m & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix} \\ &= m(3m - 2m) - 1(3 - 2) + 3(m - m) \\ &= m(m) - 1(1) + 3(0) \\ &= m^2 - 1 \end{aligned}

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de mm donde el rango podría ser menor que 3:

m2−1=0  ⟹  (m−1)(m+1)=0m^2 - 1 = 0 \implies (m - 1)(m + 1) = 0

Esto nos da dos valores: m=1m = 1 y m=−1m = -1.Ahora analizamos los diferentes casos:Caso 1: Si m≠1m \neq 1 y m≠−1m \neq -1.En este caso, det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0. Por lo tanto, el rango de la matriz AA es 3.

rango(A)=3\text{rango}(A) = 3

Caso 2: Si m=1m = 1.Sustituimos m=1m = 1 en la matriz AA:

A=(113112113)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}

El determinante es cero, así que el rango es menor que 3. Podemos observar que la primera columna es proporcional a la segunda, o que la primera fila es igual a la tercera. Consideramos un menor de orden 2:

∣1312∣=1⋅2−3⋅1=2−3=−1≠0\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz AA es 2.

rango(A)=2\text{rango}(A) = 2

Caso 3: Si m=−1m = -1.Sustituimos m=−1m = -1 en la matriz AA:

A=(−1131−121−13)A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix}

El determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2:

∣−1312∣=(−1)⋅2−3⋅1=−2−3=−5≠0\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0

Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz AA es 2.

rango(A)=2\text{rango}(A) = 2
b) Para m=0m = 0 resuelve la ecuación AX=BAX = B, si es posible.

Para m=0m = 0, la matriz AA es:

A=(013102103)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de AA para m=0m = 0: det⁡(A)=02−1=−1\det(A) = 0^2 - 1 = -1. Como det⁡(A)=−1≠0\det(A) = -1 \neq 0, la matriz AA es invertible y la ecuación AX=BAX = B se puede resolver como X=A−1BX = A^{-1}B.Calculamos la matriz inversa A−1A^{-1}.1. Determinante: det⁡(A)=−1\det(A) = -1.2. Matriz de cofactores:

A11=∣0203∣=0A12=−∣1213∣=−1A13=∣1010∣=0A21=−∣1303∣=−3A22=∣0313∣=−3A23=−∣0110∣=1A31=∣1302∣=2A32=−∣0312∣=3A33=∣0110∣=−1\begin{aligned} A_{11} &= \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 & A_{13} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{22} &= \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ A_{31} &= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 & A_{33} &= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}
Cof(A)=(0−10−3−3123−1)\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix}

3. Matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores):

Adj(A)=(Cof(A))T=(0−32−1−3301−1)\text{Adj}(A) = (\text{Cof}(A))^T = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

4. Matriz inversa:

A−1=1det⁡(A)Adj(A)=1−1(0−32−1−3301−1)=(03−213−30−11)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos X=A−1BX = A^{-1}B:

X=(03−213−30−11)(2210−12)X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
X=(0⋅2+3⋅1+(−2)⋅(−1)0⋅2+3⋅0+(−2)⋅21⋅2+3⋅1+(−3)⋅(−1)1⋅2+3⋅0+(−3)⋅20⋅2+(−1)⋅1+1⋅(−1)0⋅2+(−1)⋅0+1⋅2)=(0+3+20+0−42+3+32+0−60−1−10+0+2)=(5−48−4−22)\begin{aligned} X &= \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 + 3 + 2 & 0 + 0 - 4 \\ 2 + 3 + 3 & 2 + 0 - 6 \\ 0 - 1 - 1 & 0 + 0 + 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

La solución de la ecuación AX=BAX = B para m=0m = 0 es:

X=(5−48−4−22)X = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}