a) Calcula el rango de la matriz A A A según los valores de m m m . La matriz dada es:
A = ( m 1 3 1 m 2 1 m 3 ) A = \begin{pmatrix} m & 1 & 3 \\ 1 & m & 2 \\ 1 & m & 3 \end{pmatrix} A = m 1 1 1 m m 3 2 3 Para calcular el rango de A A A , primero calculamos su determinante:
det ( A ) = m ∣ m 2 m 3 ∣ − 1 ∣ 1 2 1 3 ∣ + 3 ∣ 1 m 1 m ∣ = m ( 3 m − 2 m ) − 1 ( 3 − 2 ) + 3 ( m − m ) = m ( m ) − 1 ( 1 ) + 3 ( 0 ) = m 2 − 1 \begin{aligned} \det(A) &= m \begin{vmatrix} m & 2 \\ m & 3 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 1 & m \\ 1 & m \end{vmatrix} \\ &= m(3m - 2m) - 1(3 - 2) + 3(m - m) \\ &= m(m) - 1(1) + 3(0) \\ &= m^2 - 1 \end{aligned} det ( A ) = m m m 2 3 − 1 1 1 2 3 + 3 1 1 m m = m ( 3 m − 2 m ) − 1 ( 3 − 2 ) + 3 ( m − m ) = m ( m ) − 1 ( 1 ) + 3 ( 0 ) = m 2 − 1 Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de m m m donde el rango podría ser menor que 3:
m 2 − 1 = 0 ⟹ ( m − 1 ) ( m + 1 ) = 0 m^2 - 1 = 0 \implies (m - 1)(m + 1) = 0 m 2 − 1 = 0 ⟹ ( m − 1 ) ( m + 1 ) = 0 Esto nos da dos valores: m = 1 m = 1 m = 1 y m = − 1 m = -1 m = − 1 . Ahora analizamos los diferentes casos: Caso 1: Si m ≠ 1 m \neq 1 m = 1 y m ≠ − 1 m \neq -1 m = − 1 . En este caso, det ( A ) ≠ 0 \det(A) \neq 0 det ( A ) = 0 . Por lo tanto, el rango de la matriz A A A es 3.
rango ( A ) = 3 \text{rango}(A) = 3 rango ( A ) = 3 Caso 2: Si m = 1 m = 1 m = 1 . Sustituimos m = 1 m = 1 m = 1 en la matriz A A A :
A = ( 1 1 3 1 1 2 1 1 3 ) A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} A = 1 1 1 1 1 1 3 2 3 El determinante es cero, así que el rango es menor que 3. Podemos observar que la primera columna es proporcional a la segunda, o que la primera fila es igual a la tercera. Consideramos un menor de orden 2:
∣ 1 3 1 2 ∣ = 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 2 − 3 = − 1 ≠ 0 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1 \neq 0 1 1 3 2 = 1 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 2 − 3 = − 1 = 0 Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz A A A es 2.
rango ( A ) = 2 \text{rango}(A) = 2 rango ( A ) = 2 Caso 3: Si m = − 1 m = -1 m = − 1 . Sustituimos m = − 1 m = -1 m = − 1 en la matriz A A A :
A = ( − 1 1 3 1 − 1 2 1 − 1 3 ) A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \end{pmatrix} A = − 1 1 1 1 − 1 − 1 3 2 3 El determinante es cero. Consideramos un menor de orden 2:
∣ − 1 3 1 2 ∣ = ( − 1 ) ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = − 2 − 3 = − 5 ≠ 0 \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 2 - 3 \cdot 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0 − 1 1 3 2 = ( − 1 ) ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = − 2 − 3 = − 5 = 0 Como existe un menor de orden 2 no nulo, el rango de la matriz A A A es 2.
rango ( A ) = 2 \text{rango}(A) = 2 rango ( A ) = 2 b) Para m = 0 m = 0 m = 0 resuelve la ecuación A X = B AX = B A X = B , si es posible. Para m = 0 m = 0 m = 0 , la matriz A A A es:
A = ( 0 1 3 1 0 2 1 0 3 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} A = 0 1 1 1 0 0 3 2 3 Calculamos el determinante de A A A para m = 0 m = 0 m = 0 : det ( A ) = 0 2 − 1 = − 1 \det(A) = 0^2 - 1 = -1 det ( A ) = 0 2 − 1 = − 1 . Como det ( A ) = − 1 ≠ 0 \det(A) = -1 \neq 0 det ( A ) = − 1 = 0 , la matriz A A A es invertible y la ecuación A X = B AX = B A X = B se puede resolver como X = A − 1 B X = A^{-1}B X = A − 1 B . Calculamos la matriz inversa A − 1 A^{-1} A − 1 . 1. Determinante: det ( A ) = − 1 \det(A) = -1 det ( A ) = − 1 . 2. Matriz de cofactores:
A 11 = ∣ 0 2 0 3 ∣ = 0 A 12 = − ∣ 1 2 1 3 ∣ = − 1 A 13 = ∣ 1 0 1 0 ∣ = 0 A 21 = − ∣ 1 3 0 3 ∣ = − 3 A 22 = ∣ 0 3 1 3 ∣ = − 3 A 23 = − ∣ 0 1 1 0 ∣ = 1 A 31 = ∣ 1 3 0 2 ∣ = 2 A 32 = − ∣ 0 3 1 2 ∣ = 3 A 33 = ∣ 0 1 1 0 ∣ = − 1 \begin{aligned} A_{11} &= \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 0 & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -1 & A_{13} &= \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{22} &= \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -3 & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \\ A_{31} &= \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 & A_{33} &= \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned} A 11 A 21 A 31 = 0 0 2 3 = 0 = − 1 0 3 3 = − 3 = 1 0 3 2 = 2 A 12 A 22 A 32 = − 1 1 2 3 = − 1 = 0 1 3 3 = − 3 = − 0 1 3 2 = 3 A 13 A 23 A 33 = 1 1 0 0 = 0 = − 0 1 1 0 = 1 = 0 1 1 0 = − 1 Cof ( A ) = ( 0 − 1 0 − 3 − 3 1 2 3 − 1 ) \text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -3 & -3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end{pmatrix} Cof ( A ) = 0 − 3 2 − 1 − 3 3 0 1 − 1 3. Matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores):
Adj ( A ) = ( Cof ( A ) ) T = ( 0 − 3 2 − 1 − 3 3 0 1 − 1 ) \text{Adj}(A) = (\text{Cof}(A))^T = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} Adj ( A ) = ( Cof ( A ) ) T = 0 − 1 0 − 3 − 3 1 2 3 − 1 4. Matriz inversa:
A − 1 = 1 det ( A ) Adj ( A ) = 1 − 1 ( 0 − 3 2 − 1 − 3 3 0 1 − 1 ) = ( 0 3 − 2 1 3 − 3 0 − 1 1 ) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -3 & 2 \\ -1 & -3 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} A − 1 = det ( A ) 1 Adj ( A ) = − 1 1 0 − 1 0 − 3 − 3 1 2 3 − 1 = 0 1 0 3 3 − 1 − 2 − 3 1 Ahora calculamos X = A − 1 B X = A^{-1}B X = A − 1 B :
X = ( 0 3 − 2 1 3 − 3 0 − 1 1 ) ( 2 2 1 0 − 1 2 ) X = \begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} X = 0 1 0 3 3 − 1 − 2 − 3 1 2 1 − 1 2 0 2 X = ( 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 + ( − 2 ) ⋅ 2 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 + ( − 3 ) ⋅ 2 0 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 1 + 1 ⋅ ( − 1 ) 0 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 ) = ( 0 + 3 + 2 0 + 0 − 4 2 + 3 + 3 2 + 0 − 6 0 − 1 − 1 0 + 0 + 2 ) = ( 5 − 4 8 − 4 − 2 2 ) \begin{aligned} X &= \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-2) \cdot 2 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + (-3) \cdot (-1) & 1 \cdot 2 + 3 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 \\ 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 + 3 + 2 & 0 + 0 - 4 \\ 2 + 3 + 3 & 2 + 0 - 6 \\ 0 - 1 - 1 & 0 + 0 + 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned} X = 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) 0 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 1 + 1 ⋅ ( − 1 ) 0 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 + ( − 2 ) ⋅ 2 1 ⋅ 2 + 3 ⋅ 0 + ( − 3 ) ⋅ 2 0 ⋅ 2 + ( − 1 ) ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 = 0 + 3 + 2 2 + 3 + 3 0 − 1 − 1 0 + 0 − 4 2 + 0 − 6 0 + 0 + 2 = 5 8 − 2 − 4 − 4 2 La solución de la ecuación A X = B AX = B A X = B para m = 0 m = 0 m = 0 es:
X = ( 5 − 4 8 − 4 − 2 2 ) X = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ 8 & -4 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} X = 5 8 − 2 − 4 − 4 2 
