T2: Interacción electromagnética

Fuerza magnética sobre conductores

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

B.1-b

b) Un hilo conductor recto de longitud

0,2 \text{ m}

y masa

8 \cdot 10^{-3} \text{ kg}

está situado a lo largo del eje

OX

en presencia de un campo magnético uniforme

\vec{B} = 0,5 \vec{k} \text{ T}

y del campo gravitatorio terrestre, dirigido en el sentido negativo del eje

OY

, no existiendo otras fuerzas aplicadas sobre el hilo. Justifique, ayudándose de un esquema, el sentido de la corriente que debe circular por el hilo para que esté en equilibrio, y calcule razonadamente el valor de la intensidad.

$g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Equilibrio de fuerzasIntensidad de corrienteCampo magnético

b) Para que el hilo conductor se encuentre en equilibrio, la fuerza neta sobre él debe ser cero. Esto significa que la fuerza magnética sobre el hilo debe ser igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza gravitatoria (peso) que actúa sobre él.

La fuerza gravitatoria sobre el hilo viene dada por:

\vec{F_g} = m \vec{g}

Dado que el campo gravitatorio terrestre está dirigido en el sentido negativo del eje $OY$ , la fuerza gravitatoria es:

\vec{F_g} = -m g \vec{j}

La fuerza magnética sobre un hilo conductor por el que circula una corriente $I$ en presencia de un campo magnético $\vec{B}$ viene dada por la Ley de Lorentz para hilos conductores:

\vec{F_m} = I (\vec{L} \times \vec{B})

Donde $\vec{L}$ es un vector cuya magnitud es la longitud del hilo y cuya dirección es el sentido de la corriente. El hilo está situado a lo largo del eje $OX$ , por lo que $\vec{L}$ será $L \vec{i}$ o $-L \vec{i}$ . El campo magnético es $\vec{B} = 0,5 \vec{k} \text{ T}$ .Para que el hilo esté en equilibrio, la fuerza magnética debe compensar el peso, es decir, debe estar dirigida en el sentido positivo del eje $OY$ :

\vec{F_m} = -\vec{F_g} = m g \vec{j}

Aplicando la regla de la mano derecha (o del producto vectorial) para determinar el sentido de la corriente:

\vec{L} \times \vec{B} = \text{dirección de } \vec{F_m} \text{ si } I > 0

Necesitamos que $\vec{L} \times \vec{B}$ apunte en la dirección $+\vec{j}$ . Si la corriente circulara en el sentido positivo del eje $OX$ , entonces $\vec{L} = L \vec{i}$ . El producto vectorial sería: $\vec{L} \times \vec{B} = (L \vec{i}) \times (B \vec{k}) = L B (\vec{i} \times \vec{k}) = L B (-\vec{j})$ . Esta fuerza apuntaría hacia abajo, sumándose al peso. Si la corriente circulara en el sentido negativo del eje $OX$ , entonces $\vec{L} = -L \vec{i}$ . El producto vectorial sería: $\vec{L} \times \vec{B} = (-L \vec{i}) \times (B \vec{k}) = -L B (\vec{i} \times \vec{k}) = -L B (-\vec{j}) = L B \vec{j}$ . Esta fuerza apuntaría hacia arriba, oponiéndose al peso.Por lo tanto, para que el hilo se encuentre en equilibrio, la corriente debe circular en el sentido negativo del eje $OX$ . El siguiente esquema ilustra la dirección de la fuerza magnética sobre una carga positiva (que representa el sentido de la corriente) en este campo magnético, resultando en una fuerza hacia arriba que se opone a la gravedad.

Una vez establecido el sentido de la corriente, calculamos su valor. Para el equilibrio, las magnitudes de las fuerzas deben ser iguales:

|\vec{F_m}| = |\vec{F_g}|

I L B = m g

Despejamos la intensidad de corriente $I$ :

I = \frac{m g}{L B}

Sustituimos los valores dados:

m = 8 \cdot 10^{-3} \text{ kg}

g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

L = 0,2 \text{ m}

B = 0,5 \text{ T}

I = \frac{(8 \cdot 10^{-3} \text{ kg}) (9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2})}{(0,2 \text{ m}) (0,5 \text{ T})} = \frac{0,0784 \text{ N}}{0,1 \text{ N} \cdot \text{A}^{-1}} = 0,784 \text{ A}

Por lo tanto, la intensidad de corriente debe ser de $0,784 \text{ A}$ y circular en el sentido negativo del eje $OX$ .