T4: Óptica · Refracción — FISICA PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2019

Refracción

Problema

2019 · Ordinaria · Reserva

3B-b

Sobre una lámina de vidrio de caras plano paralelas de $0,03 \text{ m}$ de espesor y situada en el aire incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de incidencia de $35^{\circ}$ . La velocidad de propagación del rayo en la lámina de vidrio es de $2 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ .

i) Determine el índice de refracción de la lámina de vidrio.ii) Realice un esquema con la trayectoria del rayo y determine el ángulo de emergencia.iii) Determine el tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{aire} = 1$

lámina de caras paralelasíndice de refracciónley de Snell

i) Determine el índice de refracción de la lámina de vidrio.

El índice de refracción de un medio se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío ( $c$ ) y la velocidad de la luz en ese medio ( $v$ ).

n = \frac{c}{v}

Sustituyendo los valores proporcionados:

n_{vidrio} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}}{2 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}} = 1.5

ii) Realice un esquema con la trayectoria del rayo y determine el ángulo de emergencia.

Un esquema de la trayectoria del rayo en una lámina de caras plano paralelas muestra que el rayo incide desde el aire al vidrio, se refracta acercándose a la normal, y luego incide desde el vidrio al aire, refractándose de nuevo alejándose de la normal. Dado que las caras de la lámina son paralelas, el ángulo de emergencia será igual al ángulo de incidencia inicial.Calculamos el ángulo de refracción ( $\theta_r$ ) en la primera interfaz (aire-vidrio) usando la Ley de Snell:

n_{aire} \sin \theta_i = n_{vidrio} \sin \theta_r

Donde $n_{aire} = 1$ , $\theta_i = 35^\circ$ y $n_{vidrio} = 1.5$ .

1 \cdot \sin 35^\circ = 1.5 \cdot \sin \theta_r

\sin \theta_r = \frac{\sin 35^\circ}{1.5} = \frac{0.573576}{1.5} \approx 0.382384

\theta_r = \arcsin(0.382384) \approx 22.49^\circ

Para la segunda interfaz (vidrio-aire), el ángulo de incidencia es $\theta_r$ . La Ley de Snell se aplica nuevamente:

n_{vidrio} \sin \theta_r = n_{aire} \sin \theta_e

Sustituyendo el valor de $n_{vidrio} \sin \theta_r$ de la primera interfaz ( $n_{aire} \sin \theta_i$ ), obtenemos:

n_{aire} \sin \theta_i = n_{aire} \sin \theta_e

\sin \theta_i = \sin \theta_e

Por lo tanto, el ángulo de emergencia ( $\theta_e$ ) es igual al ángulo de incidencia ( $\theta_i$ ). Debido a las caras plano paralelas de la lámina, el rayo emerge con la misma dirección que el incidente, aunque desplazado lateralmente.

\theta_e = 35^\circ

iii) Determine el tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina.

La distancia que recorre el rayo dentro de la lámina ( $d$ ) no es directamente el espesor ( $e$ ), sino que está relacionada con este por el ángulo de refracción. Si $e$ es el espesor normal a la superficie, la trayectoria dentro del vidrio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo con cateto $e$ y ángulo $\theta_r$ con la normal.

d = \frac{e}{\cos \theta_r}

Donde $e = 0.03 \text{ m}$ y $\theta_r = 22.49^\circ$ .

d = \frac{0.03 \text{ m}}{\cos 22.49^\circ} = \frac{0.03 \text{ m}}{0.9238} \approx 0.032475 \text{ m}

El tiempo ( $t$ ) que tarda el rayo en atravesar esta distancia dentro del vidrio se calcula con la velocidad de propagación en el vidrio ( $v_{vidrio}$ ):

t = \frac{d}{v_{vidrio}}

t = \frac{0.032475 \text{ m}}{2 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}} \approx 1.62375 \cdot 10^{-10} \text{ s}