T6: Teoría de muestras · Distribución Normal — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2024

Distribución Normal

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media $145 \text{ cm}$ y desviación típica $22 \text{ cm}$ .

a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre

135 \text{ cm}

155 \text{ cm}

?b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?c) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre

140 \text{ cm}

151 \text{ cm}

Distribución NormalMuestreoProbabilidad

Sea $X$ la altura de las plantas de maíz. Sabemos que $X$ sigue una distribución Normal con media $\mu = 145 \text{ cm}$ y desviación típica $\sigma = 22 \text{ cm}$ . Es decir, $X \sim N(145, 22)$ .

a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre

135 \text{ cm}

155 \text{ cm}

Queremos calcular $P(135 < X < 155)$ . Para ello, estandarizamos los valores de $X$ a la variable $Z$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ .

Z_1 = \frac{135 - 145}{22} = \frac{-10}{22} \approx -0.45

Z_2 = \frac{155 - 145}{22} = \frac{10}{22} \approx 0.45

Así, $P(135 < X < 155) = P(-0.45 < Z < 0.45)$ . Utilizando las tablas de la distribución Normal estándar o una calculadora, sabemos que:

P(-0.45 < Z < 0.45) = P(Z < 0.45) - P(Z < -0.45)

P(Z < -0.45) = 1 - P(Z < 0.45)

P(-0.45 < Z < 0.45) = P(Z < 0.45) - (1 - P(Z < 0.45)) = 2 \cdot P(Z < 0.45) - 1

Consultando la tabla de la Normal estándar, $P(Z < 0.45) \approx 0.6736$ .

P(-0.45 < Z < 0.45) \approx 2 \cdot 0.6736 - 1 = 1.3472 - 1 = 0.3472

Esto significa que aproximadamente el $34.72\%$ de las plantas tienen una altura comprendida entre $135 \text{ cm}$ y $155 \text{ cm}$ .

b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las más altas?

Estar entre el $50\%$ de las plantas más altas significa que la probabilidad de que una planta tenga una altura $X$ mayor o igual a un cierto valor $x_0$ es $0.50$ . Es decir, $P(X \ge x_0) = 0.50$ . Para una distribución Normal, debido a su simetría, la mediana coincide con la media. Por lo tanto, el valor $x_0$ que deja el $50\%$ de los datos por encima de él es precisamente la media de la distribución.

x_0 = \mu = 145 \text{ cm}

Así, una planta debe tener, como mínimo, $145 \text{ cm}$ para estar entre el $50\%$ de las más altas.

c) Se selecciona una muestra aleatoria de 16 plantas. Halle la probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre

140 \text{ cm}

151 \text{ cm}

Sea $\bar{X}$ la altura media de una muestra de $n=16$ plantas. Por el Teorema Central del Límite (o directamente, dado que la población es Normal), la distribución de la media muestral $\bar{X}$ también es Normal con: Media: $\mu_{\bar{X}} = \mu = 145 \text{ cm}$ Desviación típica (error estándar): $\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

\sigma_{\bar{X}} = \frac{22}{\sqrt{16}} = \frac{22}{4} = 5.5 \text{ cm}

Entonces, $\bar{X} \sim N(145, 5.5)$ . Queremos calcular $P(140 < \bar{X} < 151)$ . Estandarizamos los valores de $\bar{X}$ a la variable $Z$ :

Z_1 = \frac{140 - 145}{5.5} = \frac{-5}{5.5} \approx -0.91

Z_2 = \frac{151 - 145}{5.5} = \frac{6}{5.5} \approx 1.09

Así, $P(140 < \bar{X} < 151) = P(-0.91 < Z < 1.09)$ . Utilizando las tablas de la distribución Normal estándar:

P(-0.91 < Z < 1.09) = P(Z < 1.09) - P(Z < -0.91)

Consultando la tabla de la Normal estándar: $P(Z < 1.09) \approx 0.8621$ $P(Z < -0.91) = 1 - P(Z < 0.91) \approx 1 - 0.8186 = 0.1814$

P(-0.91 < Z < 1.09) \approx 0.8621 - 0.1814 = 0.6807

La probabilidad de que la altura media de las plantas de esta muestra esté comprendida entre $140 \text{ cm}$ y $151 \text{ cm}$ es aproximadamente $0.6807$ .