T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2017 · Ordinaria · Titular

1A-a

Dos partículas, de masas $m$ y $2m$ , se encuentran situadas en dos puntos del espacio separados una distancia $d$ .

a) ¿Es nulo el campo gravitatorio en algún punto cercano a las dos masas? ¿Y el potencial gravitatorio? Justifique las respuestas.

Campo gravitatorioPotencial gravitatorioPrincipio de superposición

a) Análisis del campo gravitatorio y el potencial gravitatorio entre las dos masas.

Campo gravitatorio

El campo gravitatorio creado por una masa $M$ a una distancia $r$ es:

\vec{g} = -\frac{GM}{r^2}\hat{r}

El campo gravitatorio es un campo vectorial. Cada masa genera un campo que apunta hacia ella (es atractivo). Para encontrar un punto donde el campo total sea nulo, los vectores de campo de ambas masas deben ser iguales en módulo y opuestos en dirección.Consideremos un punto $P$ situado sobre la línea que une las dos masas, a una distancia $x$ de la masa $m$ (y por tanto a una distancia $d - x$ de la masa $2m$ ). Fuera del segmento que une ambas masas, los campos apuntan en el mismo sentido, por lo que no pueden cancelarse. En cambio, en un punto interior del segmento, los dos campos apuntan en sentidos opuestos y pueden anularse.La condición de campo nulo es:

\frac{Gm}{x^2} = \frac{G(2m)}{(d-x)^2}

Simplificando:

\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(d-x)^2} \implies (d-x)^2 = 2x^2 \implies d - x = x\sqrt{2}

x = \frac{d}{1+\sqrt{2}} = d(\sqrt{2}-1) \approx 0{,}414\,d

Existe un punto sobre la recta que une ambas masas, a una distancia $x = d(\sqrt{2}-1)$ de la masa $m$ (aproximadamente $0{,}414\,d$ ), donde el campo gravitatorio total es nulo. Este punto está más próximo a la masa menor $m$ , lo cual es coherente porque la masa $2m$ genera un campo más intenso y necesita estar más alejada para compensarlo.

Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio es un campo escalar. El potencial creado por una masa $M$ a una distancia $r$ es:

V = -\frac{GM}{r}

Dado que el potencial gravitatorio es siempre negativo (y su módulo crece al acercarse a cualquier masa), el potencial total en cualquier punto del espacio cercano a las dos masas es la suma de dos términos ambos negativos:

V_{total} = -\frac{Gm}{r_1} - \frac{G(2m)}{r_2}

Ambos sumandos son siempre estrictamente negativos para cualquier punto cercano a las masas (donde $r_1$ y $r_2$ son finitos). Por tanto, $V_{total}$ nunca puede ser nulo en ningún punto del espacio cercano a las dos masas. El potencial solo se anularía en el infinito, donde ambas contribuciones tienden a cero.En conclusión: el campo gravitatorio sí es nulo en un punto del segmento entre las dos masas (a $\approx 0{,}414\,d$ de la masa $m$ ), pero el potencial gravitatorio no es nulo en ningún punto cercano a ellas, ya que es la suma de dos cantidades siempre negativas.