T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo en planos inclinados

Problema

2021 · Extraordinaria · Suplente

A1-b

Un objeto de $3\text{ kg}$ de masa desciende, partiendo del reposo, desde una altura de $1,5\text{ m}$ por un plano inclinado de coeficiente de rozamiento $0,1$ que forma un ángulo de $45^\circ$ con la horizontal. Posteriormente continúa moviéndose por una superficie horizontal de coeficiente de rozamiento $0,2$ hasta detenerse.

b) i) Dibuje las fuerzas que actúan sobre el objeto cuando desciende por el plano inclinado y al moverse en la superficie horizontal, y calcule los módulos de las fuerzas de rozamiento. ii) Mediante consideraciones energéticas, calcule la distancia que recorre el objeto en la superficie horizontal hasta detenerse.

Dato: $g = 9,8\text{ m s}^{-2}$

Plano inclinadoRozamientoConservación de la energía

b) i) Dibujo de las fuerzas y cálculo de los módulos de las fuerzas de rozamiento.

Fuerzas que actúan sobre el objeto cuando desciende por el plano inclinado:

En el plano inclinado, las fuerzas relevantes son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N_1$ ) y la fuerza de rozamiento cinético ( $\text{fr}_1$ ). El peso se descompone en una componente paralela al plano ( $P_x$ ) y una componente perpendicular ( $P_y$ ). Para calcular la fuerza de rozamiento, primero necesitamos la fuerza normal. La fuerza normal se equilibra con la componente perpendicular del peso:

P = m g

N_1 = P_y = P \cos\theta = m g \cos\theta

Sustituyendo los valores dados ( $m = 3\text{ kg}$ , $g = 9,8\text{ m s}^{-2}$ , $\theta = 45^\circ$ ):

P = (3\text{ kg}) (9,8\text{ m s}^{-2}) = 29,4\text{ N}

N_1 = (29,4\text{ N}) \cos(45^\circ) = (29,4\text{ N}) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 20,79\text{ N}

La fuerza de rozamiento cinético ( $\text{fr}_1$ ) es el producto del coeficiente de rozamiento ( $\mu_1$ ) y la fuerza normal ( $N_1$ ):

\text{fr}_1 = \mu_1 N_1

Sustituyendo el coeficiente de rozamiento del plano inclinado ( $\mu_1 = 0,1$ ):

\text{fr}_1 = (0,1) (20,79\text{ N}) \approx 2,08\text{ N}

Fuerzas que actúan sobre el objeto cuando se mueve en la superficie horizontal:

En la superficie horizontal, las fuerzas relevantes son el peso ( $P$ ), la fuerza normal ( $N_2$ ) y la fuerza de rozamiento cinético ( $\text{fr}_2$ ). La fuerza normal se equilibra con el peso:

N_2 = P = m g

N_2 = (3\text{ kg}) (9,8\text{ m s}^{-2}) = 29,4\text{ N}

La fuerza de rozamiento cinético ( $\text{fr}_2$ ) es:

\text{fr}_2 = \mu_2 N_2

Sustituyendo el coeficiente de rozamiento de la superficie horizontal ( $\mu_2 = 0,2$ ):

\text{fr}_2 = (0,2) (29,4\text{ N}) = 5,88\text{ N}

b) ii) Cálculo de la distancia que recorre el objeto en la superficie horizontal hasta detenerse mediante consideraciones energéticas.

Aplicamos el principio de conservación de la energía, considerando el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (rozamiento). El cambio total de energía mecánica es igual al trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento:

\Delta E_{mec} = W_{nc}

Donde $E_{mec} = E_c + E_p$ . El objeto parte del reposo ( $E_{c,inicial}=0$ ) y se detiene al final ( $E_{c,final}=0$ ). El punto final de referencia para la energía potencial es la superficie horizontal ( $E_{p,final}=0$ ). La energía potencial inicial es $E_{p,inicial} = mgh$ .

E_{final} - E_{inicial} = W_{nc}

(E_{c,final} + E_{p,final}) - (E_{c,inicial} + E_{p,inicial}) = -W_{\text{fr, total}}

(0 + 0) - (0 + m g h) = -(W_{\text{fr}_1} + W_{\text{fr}_2})

m g h = W_{\text{fr}_1} + W_{\text{fr}_2}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento en cada tramo es el producto de la fuerza de rozamiento por la distancia recorrida en ese tramo. Primero, calculamos la longitud del plano inclinado ( $L_1$ ), ya que la altura $h$ es la componente vertical de esta longitud:

h = L_1 \sin\theta \implies L_1 = \frac{h}{\sin\theta}

Sustituyendo los valores:

L_1 = \frac{1,5\text{ m}}{\sin(45^\circ)} = \frac{1,5\text{ m}}{(\sqrt{2}/2)} = 1,5 \sqrt{2}\text{ m} \approx 2,12\text{ m}

Ahora, calculamos el trabajo de rozamiento en el plano inclinado ( $W_{\text{fr}_1}$ ):

W_{\text{fr}_1} = \text{fr}_1 \cdot L_1

W_{\text{fr}_1} = (2,08\text{ N}) (2,12\text{ m}) \approx 4,41\text{ J}

El trabajo de rozamiento en la superficie horizontal ( $W_{\text{fr}_2}$ ) es, siendo $d$ la distancia que buscamos:

W_{\text{fr}_2} = \text{fr}_2 \cdot d

Sustituyendo todos los valores en la ecuación de conservación de la energía:

m g h = W_{\text{fr}_1} + \text{fr}_2 \cdot d

(3\text{ kg}) (9,8\text{ m s}^{-2}) (1,5\text{ m}) = 4,41\text{ J} + (5,88\text{ N}) d

44,1\text{ J} = 4,41\text{ J} + (5,88\text{ N}) d

Despejamos $d$ :

(5,88\text{ N}) d = 44,1\text{ J} - 4,41\text{ J}

(5,88\text{ N}) d = 39,69\text{ J}

d = \frac{39,69\text{ J}}{5,88\text{ N}} \approx 6,75\text{ m}

La distancia que recorre el objeto en la superficie horizontal hasta detenerse es de aproximadamente $6,75\text{ m}$ .