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T4: Funciones
Continuidad, derivabilidad y extremos relativos
Problema
2022 · Ordinaria · Reserva
1
Examen

Sea ff la función continua definida por

f(x)={x2+1x−1si x≤0ax+b(x+1)2si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\ \frac{ax + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a) Determina aa y bb sabiendo que ff tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2.b) Para a=2a = 2 y b=−1b = -1, estudia la derivabilidad de ff.
FuncionesContinuidadDerivabilidad+1
a) Determina aa y bb sabiendo que ff tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x=2x = 2.

Dado que la función f(x)f(x) es continua en todo su dominio, debe ser continua en x=0x=0. Para ello, el límite de la función por la izquierda, por la derecha y el valor de la función en x=0x=0 deben ser iguales.

f(0)=02+10−1=−1f(0) = \frac{0^2 + 1}{0 - 1} = -1
lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−x2+1x−1=02+10−1=−1\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x - 1} = \frac{0^2 + 1}{0 - 1} = -1
lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+ax+b(x+1)2=a(0)+b(0+1)2=b\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{ax + b}{(x + 1)^2} = \frac{a(0) + b}{(0 + 1)^2} = b

Para que sea continua en x=0x=0, se debe cumplir que b=−1b = -1.La función tiene un extremo relativo en x=2x=2. Dado que x=2x=2 se encuentra en el tramo x>0x > 0, la derivada de la función en ese punto debe ser cero, es decir, f′(2)=0f'(2)=0.Calculamos la derivada de la función para x>0x > 0:

f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{ax + b}{(x + 1)^2} \right) = \frac{a(x + 1)^2 - (ax + b) \cdot 2(x + 1)}{(x + 1)^4}
f'(x) = \frac{(x + 1)[a(x + 1) - 2(ax + b)]}{(x + 1)^4} = \frac{a(x + 1) - 2(ax + b)}{(x + 1)^3}
f′(x)=ax+a−2ax−2b(x+1)3=−ax+a−2b(x+1)3f'(x) = \frac{ax + a - 2ax - 2b}{(x + 1)^3} = \frac{-ax + a - 2b}{(x + 1)^3}

Ahora, imponemos la condición f′(2)=0f'(2) = 0:

f′(2)=−a(2)+a−2b(2+1)3=0f'(2) = \frac{-a(2) + a - 2b}{(2 + 1)^3} = 0
−2a+a−2b33=0  ⟹  −a−2b27=0  ⟹  −a−2b=0\frac{-2a + a - 2b}{3^3} = 0 \implies \frac{-a - 2b}{27} = 0 \implies -a - 2b = 0

Tenemos la ecuación a=−2ba = -2b. Sustituyendo el valor de b=−1b = -1 obtenido de la continuidad:

a=−2(−1)=2a = -2(-1) = 2

Por lo tanto, los valores son a=2a=2 y b=−1b=-1.

b) Para a=2a = 2 y b=−1b = -1, estudia la derivabilidad de ff.

Con a=2a=2 y b=−1b=-1, la función f(x)f(x) es:

f(x)={x2+1x−1si x≤02x−1(x+1)2si x>0f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\ \frac{2x - 1}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases}

Estudiamos la derivabilidad en cada tramo y en el punto de unión (x=0x=0).Para x<0x < 0:

f′(x)=ddx(x2+1x−1)=2x(x−1)−(x2+1)(1)(x−1)2f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} \right) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
f′(x)=2x2−2x−x2−1(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}

Esta expresión está definida para x≠1x \ne 1. Como estamos en el intervalo x<0x < 0, la función es derivable para todo x<0x < 0.Para x>0x > 0:Utilizando la expresión general de f′(x)f'(x) que encontramos en el apartado a) con a=2a=2 y b=−1b=-1:

f′(x)=−ax+a−2b(x+1)3=−2x+2−2(−1)(x+1)3=−2x+4(x+1)3f'(x) = \frac{-ax + a - 2b}{(x + 1)^3} = \frac{-2x + 2 - 2(-1)}{(x + 1)^3} = \frac{-2x + 4}{(x + 1)^3}

Esta expresión está definida para x≠−1x \ne -1. Como estamos en el intervalo x>0x > 0, la función es derivable para todo x>0x > 0.Para x=0x = 0:En el apartado a) ya se comprobó que la función es continua en x=0x=0 para a=2a=2 y b=−1b=-1. Ahora, calculamos las derivadas laterales:

f′(0−)=lim⁡x→0−x2−2x−1(x−1)2=02−2(0)−1(0−1)2=−11=−1f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{0^2 - 2(0) - 1}{(0 - 1)^2} = \frac{-1}{1} = -1
f′(0+)=lim⁡x→0+−2x+4(x+1)3=−2(0)+4(0+1)3=41=4f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{-2x + 4}{(x + 1)^3} = \frac{-2(0) + 4}{(0 + 1)^3} = \frac{4}{1} = 4

Dado que f′(0−)=−1≠f′(0+)=4f'(0^-) = -1 \ne f'(0^+) = 4, la función no es derivable en x=0x=0.En resumen, la función f(x)f(x) es derivable en R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}.