T1: Interacción gravitatoria

Energía en el campo gravitatorio

Problema

2018 · Ordinaria · Titular

1B-b

Se desea situar un satélite de $100 \text{ kg}$ de masa en una órbita circular a $100 \text{ km}$ de altura alrededor de la Tierra.

b) (i) Determine la velocidad inicial mínima necesaria para que alcance dicha altura; (ii) una vez alcanzada dicha altura, calcule la velocidad que habría que proporcionarle para que se mantenga en órbita.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$

Lanzamiento de satélitesVelocidad orbital

b)(i) Velocidad mínima para alcanzar 100 km de altura

La velocidad mínima para alcanzar una altura $h$ es aquella para la que el satélite llega con velocidad nula en el punto más alto. Aplicamos conservación de la energía mecánica entre la superficie terrestre y la altura $h$ :

E_{\text{sup}} = E_{\text{altura}}

\frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{GM_T m}{R_T} = 0 - \frac{GM_T m}{R_T + h}

Despejando $v_0$ :

v_0 = \sqrt{2GM_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h}\right)}

Sustituyendo los datos: $h = 100 \text{ km} = 1{,}00 \times 10^5 \text{ m}$ , $R_T = 6{,}370 \times 10^6 \text{ m}$ , $R_T + h = 6{,}470 \times 10^6 \text{ m}$

\frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h} = \frac{1}{6{,}370 \times 10^6} - \frac{1}{6{,}470 \times 10^6}

= \frac{6{,}470 - 6{,}370}{6{,}370 \times 6{,}470 \times 10^{12}} = \frac{0{,}100 \times 10^6}{41{,}21 \times 10^{12}} = 2{,}427 \times 10^{-9} \text{ m}^{-1}

v_0 = \sqrt{2 \times 6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24} \times 2{,}427 \times 10^{-9}}

v_0 = \sqrt{2 \times 3{,}989 \times 10^{14} \times 2{,}427 \times 10^{-9}} = \sqrt{1{,}937 \times 10^{6}}

\boxed{v_0 \approx 1{,}392 \times 10^3 \text{ m/s} \approx 1392 \text{ m/s}}

b)(ii) Velocidad orbital a 100 km de altura

Para que el satélite se mantenga en órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria:

\frac{GM_T m}{(R_T + h)^2} = \frac{mv_{\text{orb}}^2}{R_T + h}

Despejando la velocidad orbital:

v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM_T}{R_T + h}}

Sustituyendo valores:

v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{6{,}67 \times 10^{-11} \times 5{,}98 \times 10^{24}}{6{,}470 \times 10^6}}

v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{3{,}989 \times 10^{14}}{6{,}470 \times 10^6}} = \sqrt{6{,}166 \times 10^7}

\boxed{v_{\text{orb}} \approx 7{,}852 \times 10^3 \text{ m/s} \approx 7852 \text{ m/s}}

La velocidad orbital ( $\approx 7852$ m/s) es muy superior a la velocidad mínima de lanzamiento ( $\approx 1392$ m/s), lo que tiene sentido físico: la velocidad de lanzamiento mínima solo asegura que el satélite alcance la altura deseada, pero una vez allí se le debe proporcionar una velocidad horizontal adicional para que entre en órbita estable.