T6: Teoría de muestras · Muestreo estratificado — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2021

Muestreo estratificado

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

BLOQUE D

a) Se desea tomar una muestra aleatoria estratificada de las personas de un municipio, cuyos estratos son los siguientes tramos de edad: de

0

25

años, de

26

45

, de

46

60

y de

61

años o más. En el primer tramo hay

15\,000

personas, en el segundo hay

16\,800

, en el tercero

11\,400

y en el cuarto

6\,000

. Sabiendo que el muestreo se hace con afijación proporcional y se han elegido al azar

375

personas del primer tramo, calcule el tamaño de la muestra total y su composición.b) Dada la población

\{1, 3, 5\}

, establezca todas las muestras posibles de tamaño

2

que se puedan formar mediante muestreo aleatorio simple y determine la media y la desviación típica de las medias muestrales obtenidas con todas estas muestras.

Muestreo estratificadoMedia muestralAfijación proporcional

a) Se tienen los siguientes estratos y tamaños poblacionales:

N_1 = 15\,000$ (0-25 años)

N_2 = 16\,800

(26-45 años)

N_3 = 11\,400

(46-60 años)
$N_4 = 6\,000 \quad\text{(61 años o más)}

El tamaño total de la población es $N = N_1 + N_2 + N_3 + N_4$ .

N = 15\,000 + 16\,800 + 11\,400 + 6\,000 = 49\,200 \text{ personas}

Dado que el muestreo se realiza con afijación proporcional, la proporción de personas de cada estrato en la muestra es la misma que en la población. Se sabe que se han tomado $n_1 = 375$ personas del primer tramo. Podemos calcular el tamaño total de la muestra ( $n$ ).

\frac{n_1}{n} = \frac{N_1}{N} \implies n = n_1 \cdot \frac{N}{N_1}

n = 375 \cdot \frac{49\,200}{15\,000} = 375 \cdot 3.28 = 1\,230

El tamaño total de la muestra es de $1\,230$ personas.Ahora calculamos la composición de la muestra para los demás estratos, manteniendo la misma proporción $n_i/N_i = n/N$ :

n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}

n_2 = 1\,230 \cdot \frac{16\,800}{49\,200} = 420 \text{ personas}

n_3 = 1\,230 \cdot \frac{11\,400}{49\,200} = 285 \text{ personas}

n_4 = 1\,230 \cdot \frac{6\,000}{49\,200} = 150 \text{ personas}

Comprobación del total de la muestra: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 375 + 420 + 285 + 150 = 1\,230$ . Coincide con el tamaño total calculado.La composición de la muestra es la siguiente:

n_1 = 375 \text{ personas del tramo } 0-25 \text{ años.}

n_2 = 420 \text{ personas del tramo } 26-45 \text{ años.}

n_3 = 285 \text{ personas del tramo } 46-60 \text{ años.}

n_4 = 150 \text{ personas del tramo } 61 \text{ años o más.}

b) Dada la población

P = \{1, 3, 5\}

y un tamaño de muestra

k = 2

El número de muestras posibles de tamaño $2$ mediante muestreo aleatorio simple (sin reemplazo y sin orden) es $\binom{N}{k}$ , donde $N=3$ y $k=2$ .

\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = 3

Las muestras posibles y sus medias son:

\text{Muestra 1: } \{1, 3\} \implies \bar{x}_1 = \frac{1+3}{2} = 2

\text{Muestra 2: } \{1, 5\} \implies \bar{x}_2 = \frac{1+5}{2} = 3

\text{Muestra 3: } \{3, 5\} \implies \bar{x}_3 = \frac{3+5}{2} = 4

La media de las medias muestrales, $\mu_{\bar{x}}$ , se calcula como el promedio de las medias obtenidas:

\mu_{\bar{x}} = \frac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2 + \bar{x}_3}{3} = \frac{2 + 3 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3

Para calcular la desviación típica de las medias muestrales (error estándar de la media) $\sigma_{\bar{x}}$ , primero calculamos la media y la desviación típica de la población.

\mu = \frac{1+3+5}{3} = \frac{9}{3} = 3

\sigma^2 = \frac{(1-3)^2 + (3-3)^2 + (5-3)^2}{3} = \frac{(-2)^2 + 0^2 + 2^2}{3} = \frac{4+0+4}{3} = \frac{8}{3}

\sigma = \sqrt{\frac{8}{3}}

La desviación típica de las medias muestrales para muestreo aleatorio simple sin reemplazo se calcula como:

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{k}} \sqrt{\frac{N-k}{N-1}}

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sqrt{8/3}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{3-2}{3-1}} = \frac{\sqrt{8/3}}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{1}{2}}

\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sqrt{8/3}}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{8/3}}{2} = \sqrt{\frac{8}{3 \cdot 4}} = \sqrt{\frac{8}{12}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

Alternativamente, podemos calcular la desviación típica directamente a partir de las medias muestrales:

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{(\bar{x}_1 - \mu_{\bar{x}})^2 + (\bar{x}_2 - \mu_{\bar{x}})^2 + (\bar{x}_3 - \mu_{\bar{x}})^2}{3}

\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{(2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2}{3} = \frac{(-1)^2 + 0^2 + 1^2}{3} = \frac{1+0+1}{3} = \frac{2}{3}

\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{2}{3}}

La media de las medias muestrales es $3$ y su desviación típica es $\sqrt{2/3}$ .