T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2017 · Extraordinaria · Reserva

2A-b

b) Un campo magnético, de intensidad

B = 2 \text{ sen } (100\pi t + \pi) \text{ (S.I.)}

, forma un ángulo de

45^{\circ}

con el plano de una espira circular de radio

R = 12 \text{ cm}

. Calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira en el instante

t = 2 \text{ s}

fuerza electromotrizley de Faradayflujo magnético

El flujo magnético a través de la espira viene dado por:

\Phi = B \cdot A \cdot \cos\theta

donde $\theta$ es el ángulo entre el campo magnético $\vec{B}$ y la normal al plano de la espira. Si el campo forma $45^\circ$ con el plano de la espira, entonces forma $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ con la normal a dicho plano. Por tanto $\theta = 45^\circ$ .El área de la espira circular de radio $R = 12 \text{ cm} = 0{,}12 \text{ m}$ es:

A = \pi R^2 = \pi (0{,}12)^2 = 0{,}01440\pi \approx 4{,}524 \times 10^{-2} \text{ m}^2

El flujo magnético en función del tiempo es:

\Phi(t) = B(t) \cdot A \cdot \cos(45^\circ) = 2\,\text{sen}(100\pi t + \pi) \cdot \pi(0{,}12)^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

\Phi(t) = \sqrt{2}\,\pi\,(0{,}12)^2\,\text{sen}(100\pi t + \pi)

La fuerza electromotriz inducida se obtiene aplicando la Ley de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

Derivando el flujo respecto al tiempo:

\varepsilon = -\sqrt{2}\,\pi\,(0{,}12)^2 \cdot 100\pi\,\cos(100\pi t + \pi)

\varepsilon = -100\pi^2\sqrt{2}\,(0{,}12)^2\,\cos(100\pi t + \pi)

Calculamos la amplitud numérica:

100\pi^2\sqrt{2}\,(0{,}12)^2 = 100 \times 9{,}8696 \times 1{,}4142 \times 0{,}0144 \approx 20{,}10 \text{ V}

Evaluamos en $t = 2 \text{ s}$ . El argumento del coseno es:

100\pi \cdot 2 + \pi = 200\pi + \pi = 201\pi

Como $\cos(201\pi) = \cos(\pi) = -1$ (ya que $201\pi$ es un múltiplo impar de $\pi$ ):

\varepsilon = -20{,}10 \times (-1) = +20{,}10 \text{ V}

La fuerza electromotriz inducida en el instante $t = 2\text{ s}$ es:

\boxed{\varepsilon \approx 20{,}10 \text{ V}}