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T4: Funciones
Monotonía y extremos
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
2
Examen
EJERCICIO 2

Sea la función f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dada por f(x)=(x−12)e−x2f(x) = \left( x - \frac{1}{2} \right) e^{-x^2}.

a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.b) Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
FuncionesMonotoníaExtremos absolutos
Resolución del ejercicio
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada de la función f(x)=(x−12)e−x2f(x) = \left( x - \frac{1}{2} \right) e^{-x^2} utilizando la regla del producto:

f′(x)=1⋅e−x2+(x−12)⋅(−2x)e−x2f'(x) = 1 \cdot e^{-x^2} + \left( x - \frac{1}{2} \right) \cdot (-2x) e^{-x^2}

Factorizamos el término común e−x2e^{-x^2}:

f′(x)=e−x2[1−2x2+x]=(−2x2+x+1)e−x2f'(x) = e^{-x^2} \left[ 1 - 2x^2 + x \right] = (-2x^2 + x + 1) e^{-x^2}

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos. Como e−x2>0e^{-x^2} > 0 para todo x∈Rx \in \mathbb{R}, resolvemos la ecuación de segundo grado:

−2x2+x+1=0  ⟹  x=−1±12−4(−2)(1)2(−2)=−1±9−4=−1±3−4-2x^2 + x + 1 = 0 \implies x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(-2)(1)}}{2(-2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{-4} = \frac{-1 \pm 3}{-4}

Las soluciones son x1=2−4=−12x_1 = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2} y x2=−4−4=1x_2 = \frac{-4}{-4} = 1.Analizamos el signo de f′(x)f'(x) en los intervalos definidos por estos puntos:

- En (−∞,−1/2)(-\infty, -1/2): f′(−1)=(−2−1+1)e−1<0f'(-1) = (-2 - 1 + 1) e^{-1} < 0, por lo que ff es decreciente. - En (−1/2,1)(-1/2, 1): f′(0)=(0+0+1)e0>0f'(0) = (0 + 0 + 1) e^{0} > 0, por lo que ff es creciente. - En (1,+∞)(1, +\infty): f′(2)=(−8+2+1)e−4<0f'(2) = (-8 + 2 + 1) e^{-4} < 0, por lo que ff es decreciente.b) Halla los extremos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Los candidatos a extremos absolutos en el dominio R\mathbb{R} son los puntos críticos y los límites en el infinito:Calculamos el valor de la función en los puntos críticos:

f(−1/2)=(−12−12)e−(−1/2)2=−1⋅e−1/4=−e−1/4f(-1/2) = \left( -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right) e^{-(-1/2)^2} = -1 \cdot e^{-1/4} = -e^{-1/4}
f(1)=(1−12)e−(1)2=12e−1=12ef(1) = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) e^{-(1)^2} = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e}

Calculamos los límites en el infinito para observar el comportamiento asintótico:

lim⁡x→±∞(x−12)e−x2=lim⁡x→±∞x−1/2ex2=0\lim_{x \to \pm\infty} \left( x - \frac{1}{2} \right) e^{-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x - 1/2}{e^{x^2}} = 0

Comparando los valores obtenidos (−e−1/4≈−0.7788-e^{-1/4} \approx -0.7788, 12e≈0.1839\frac{1}{2e} \approx 0.1839 y el límite 00):El máximo absoluto se alcanza en x=1x = 1 con un valor de f(1)=12ef(1) = \frac{1}{2e}.El mínimo absoluto se alcanza en x=−1/2x = -1/2 con un valor de f(−1/2)=−e−1/4f(-1/2) = -e^{-1/4}.