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T3: Programación lineal
Optimización
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
1
Examen

El aforo de un campo de fútbol es de 10000 personas. Según el reglamento establecido por la federación de fútbol, como máximo deben ponerse a la venta 3000 entradas para los aficionados del equipo visitante y por cada aficionado visitante debe haber dos aficionados locales como mínimo y cuatro aficionados locales como máximo.Si el precio de la entrada es de 5050 € pero el aficionado local tiene un descuento del 2020 %, ¿cuántos aficionados locales y visitantes deben asistir para obtener el mayor importe con la venta de las entradas?

Programación linealOptimizaciónRegión factible
Planteamiento del problema de programación lineal

Definimos las variables de decisión para el problema:

xx: número de aficionados locales.yy: número de aficionados visitantes.

A continuación, establecemos las restricciones basadas en el enunciado:

Capacidad máxima del estadio: x+y≤10000x + y \leq 10000Límite de entradas visitantes: y≤3000y \leq 3000Relación mínima locales/visitantes (2:12:1): x≥2y  ⟹  x−2y≥0x \geq 2y \implies x - 2y \geq 0Relación máxima locales/visitantes (4:14:1): x≤4y  ⟹  x−4y≤0x \leq 4y \implies x - 4y \leq 0Condiciones de no negatividad: x≥0,y≥0x \geq 0, y \geq 0

La función objetivo representa el importe total de la venta. El precio para visitantes es de 5050 €, y para locales se aplica un descuento del 20%20\%, resultando en 50⋅0,80=4050 \cdot 0,80 = 40 €.

f(x,y)=40x+50yf(x, y) = 40x + 50y
Determinación de la región factible y vértices

Calculamos los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región factible:

V1V_1 (Origen): Intersección de x−2y=0x - 2y = 0 y x−4y=0  ⟹  (0,0)x - 4y = 0 \implies (0, 0)V2V_2: Intersección de x+y=10000x + y = 10000 y x=4y  ⟹  4y+y=10000  ⟹  5y=10000  ⟹  y=2000,x=8000x = 4y \implies 4y + y = 10000 \implies 5y = 10000 \implies y = 2000, x = 8000. Punto (8000,2000)(8000, 2000)V3V_3: Intersección de x+y=10000x + y = 10000 y y=3000  ⟹  x+3000=10000  ⟹  x=7000y = 3000 \implies x + 3000 = 10000 \implies x = 7000. Punto (7000,3000)(7000, 3000)V4V_4: Intersección de y=3000y = 3000 y x=2y  ⟹  x=2(3000)=6000x = 2y \implies x = 2(3000) = 6000. Punto (6000,3000)(6000, 3000)
x+y≤10000y≤3000x≥2yx≤4y(0, 0)(8000, 2000)(7000, 3000)(6000, 3000)Máx: z = 43000002000400060008000100007501500225030003750xyz = 40x + 50y
Evaluación de la función objetivo

Evaluamos f(x,y)=40x+50yf(x, y) = 40x + 50y en cada uno de los vértices hallados:

f(0,0)=40(0)+50(0)=0f(0, 0) = 40(0) + 50(0) = 0 €f(8000,2000)=40(8000)+50(2000)=320000+100000=420000f(8000, 2000) = 40(8000) + 50(2000) = 320000 + 100000 = 420000 €f(7000,3000)=40(7000)+50(3000)=280000+150000=430000f(7000, 3000) = 40(7000) + 50(3000) = 280000 + 150000 = 430000 €f(6000,3000)=40(6000)+50(3000)=240000+150000=390000f(6000, 3000) = 40(6000) + 50(3000) = 240000 + 150000 = 390000 €

Para obtener el mayor importe con la venta de las entradas, deben asistir 70007000 aficionados locales y 30003000 aficionados visitantes, obteniéndose un ingreso máximo de 430000430000 €.