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T1: Interacción gravitatoria
Leyes de Newton y gravitación
Teoría
2018 · Extraordinaria · Reserva
1B-a
Examen
a) Un bloque de masa mm tiene un peso PP sobre la superficie terrestre. Indique justificadamente cómo se modificaría el valor de su peso en los siguientes casos: (i) Si la masa de la Tierra se redujese a la mitad sin variar su radio; (ii) si la masa de la Tierra no variase pero su radio se redujese a la mitad.
pesomasa de la Tierraradio de la Tierra+1
Peso de un cuerpo y gravedad terrestre

El peso de un objeto sobre la superficie terrestre se obtiene combinando la segunda ley de Newton con la ley de gravitación universal:

P=m⋅g=m⋅GMTRT2P = m \cdot g = m \cdot \frac{G M_T}{R_T^2}

donde GG es la constante de gravitación universal, MTM_T es la masa de la Tierra y RTR_T es su radio. Por tanto, el peso depende linealmente de MTM_T e inversamente del cuadrado de RTR_T.

a) (i) La masa de la Tierra se reduce a la mitad (MT′=MT/2M_T' = M_T/2) sin variar el radio (RT′=RTR_T' = R_T):

El nuevo peso será:

P′=m⋅GMT′RT2=m⋅G⋅MT2RT2=12⋅m⋅GMTRT2=P2P' = m \cdot \frac{G M_T'}{R_T^2} = m \cdot \frac{G \cdot \dfrac{M_T}{2}}{R_T^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{G M_T}{R_T^2} = \frac{P}{2}

El peso se reduciría a la mitad de su valor original. Al reducirse la masa de la Tierra a la mitad, la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce sobre el bloque también se reduce a la mitad, ya que el peso es directamente proporcional a MTM_T.

a) (ii) La masa de la Tierra no varía (MT′=MTM_T' = M_T) pero su radio se reduce a la mitad (RT′=RT/2R_T' = R_T/2):

El nuevo peso será:

P′=m⋅GMT(RT′)2=m⋅GMT(RT2)2=m⋅GMTRT24=4⋅m⋅GMTRT2=4PP' = m \cdot \frac{G M_T}{(R_T')^2} = m \cdot \frac{G M_T}{\left(\dfrac{R_T}{2}\right)^2} = m \cdot \frac{G M_T}{\dfrac{R_T^2}{4}} = 4 \cdot m \cdot \frac{G M_T}{R_T^2} = 4P

El peso se multiplicaría por cuatro respecto a su valor original. Al reducirse el radio a la mitad, la superficie terrestre queda más cerca del centro de masa de la Tierra, y como el peso es inversamente proporcional al cuadrado del radio, al dividir RTR_T entre 2 el peso aumenta un factor 22=42^2 = 4.