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T2: Interacción electromagnética
Energía y potencial eléctrico
Problema
2017 · Ordinaria · Titular
2B-b
Examen
b) Se coloca una carga puntual de 4⋅10−9 C4 \cdot 10^{-9} \text{ C} en el origen de coordenadas y otra carga puntual de −3⋅10−9 C-3 \cdot 10^{-9} \text{ C} en el punto (0,1) m(0,1) \text{ m}. Calcule el trabajo que hay que realizar para trasladar una carga de 2⋅10−9 C2 \cdot 10^{-9} \text{ C} desde el punto (1,2) m(1,2) \text{ m} hasta el punto (2,2) m(2,2) \text{ m}.

Dato: K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

Trabajo eléctricoEnergía potencialPotencial eléctrico
XY+q₁ = +4·10⁻⁹ C (origen)-q₂ = -3·10⁻⁹ C (0,1)mq₃ = +2·10⁻⁹ CB(2,2)E1E2g3

El trabajo realizado para trasladar una carga q3q_3 entre dos puntos A y B en un campo eléctrico es:

WA→B=q3⋅(VA−VB)W_{A \to B} = q_3 \cdot (V_A - V_B)

donde VAV_A y VBV_B son los potenciales eléctricos en los puntos A (1,2)(1,2) m y B (2,2)(2,2) m respectivamente, creados por las cargas q1q_1 y q2q_2.

Cálculo de distancias desde cada carga fija hasta el punto A(1,2)

Distancia de q1q_1 (origen) al punto A(1,2)(1,2):

r1A=(1−0)2+(2−0)2=1+4=5 mr_{1A} = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \text{ m}

Distancia de q2q_2 (0,1)(0,1) al punto A(1,2)(1,2):

r2A=(1−0)2+(2−1)2=1+1=2 mr_{2A} = \sqrt{(1-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} \text{ m}
Cálculo de distancias desde cada carga fija hasta el punto B(2,2)

Distancia de q1q_1 (origen) al punto B(2,2)(2,2):

r1B=(2−0)2+(2−0)2=4+4=22 mr_{1B} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+4} = 2\sqrt{2} \text{ m}

Distancia de q2q_2 (0,1)(0,1) al punto B(2,2)(2,2):

r2B=(2−0)2+(2−1)2=4+1=5 mr_{2B} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \text{ m}
Potencial en el punto A(1,2)
VA=K⋅q1r1A+K⋅q2r2AV_A = K \cdot \frac{q_1}{r_{1A}} + K \cdot \frac{q_2}{r_{2A}}
VA=9⋅109⋅4⋅10−95+9⋅109⋅−3⋅10−92V_A = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{5}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{2}}
VA=365+−272=362,236−271,414V_A = \frac{36}{\sqrt{5}} + \frac{-27}{\sqrt{2}} = \frac{36}{2{,}236} - \frac{27}{1{,}414}
VA=16,10−19,09=−2,99 VV_A = 16{,}10 - 19{,}09 = -2{,}99 \text{ V}
Potencial en el punto B(2,2)
VB=K⋅q1r1B+K⋅q2r2BV_B = K \cdot \frac{q_1}{r_{1B}} + K \cdot \frac{q_2}{r_{2B}}
VB=9⋅109⋅4⋅10−922+9⋅109⋅−3⋅10−95V_B = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{2\sqrt{2}} + 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{-3 \cdot 10^{-9}}{\sqrt{5}}
VB=3622+−275=362,828−272,236V_B = \frac{36}{2\sqrt{2}} + \frac{-27}{\sqrt{5}} = \frac{36}{2{,}828} - \frac{27}{2{,}236}
VB=12,73−12,07=0,66 VV_B = 12{,}73 - 12{,}07 = 0{,}66 \text{ V}
Cálculo del trabajo
WA→B=q3⋅(VA−VB)=2⋅10−9⋅(−2,99−0,66)W_{A \to B} = q_3 \cdot (V_A - V_B) = 2 \cdot 10^{-9} \cdot (-2{,}99 - 0{,}66)
WA→B=2⋅10−9⋅(−3,65)W_{A \to B} = 2 \cdot 10^{-9} \cdot (-3{,}65)
WA→B≈−7,3⋅10−9 J\boxed{W_{A \to B} \approx -7{,}3 \cdot 10^{-9} \text{ J}}

El trabajo que hay que realizar es aproximadamente −7,3⋅10−9-7{,}3 \cdot 10^{-9} J. El signo negativo indica que el campo eléctrico realiza trabajo positivo sobre la carga al desplazarse de A a B, por lo que el agente externo debe realizar trabajo negativo (la carga se mueve espontáneamente en esa dirección).