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T4: Funciones
Análisis de funciones
Problema
2020 · Extraordinaria · Suplente
5
Examen

Sea ff la función definida por:

f(x)=∣x∣2−x para x≠2f(x) = \frac{|x|}{2 - x} \text{ para } x \neq 2
a) Estudia la derivabilidad de ff.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.
DerivabilidadMonotoníaValor absoluto

La función f(x)f(x) se puede reescribir eliminando el valor absoluto:

f(x)={−x2−xsi x<0x2−xsi x≥0,x≠2f(x) = \begin{cases} \frac{-x}{2 - x} & \text{si } x < 0 \\ \frac{x}{2 - x} & \text{si } x \ge 0, x \neq 2 \end{cases}
a) Estudio de la derivabilidad de ff.

La función es un cociente de polinomios, por lo que es continua y derivable en su dominio, excepto posiblemente en x=0x=0 (donde cambia la definición del valor absoluto) y en x=2x=2 (donde el denominador se anula). El problema ya especifica x≠2x \neq 2, así que no se considera x=2x=2 para la derivabilidad.Estudiamos la continuidad en x=0x=0:

lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−−x2−x=02=0\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{2 - x} = \frac{0}{2} = 0
lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+x2−x=02=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{2 - x} = \frac{0}{2} = 0
f(0)=∣0∣2−0=0f(0) = \frac{|0|}{2 - 0} = 0

Dado que los límites laterales y el valor de la función en x=0x=0 coinciden, f(x)f(x) es continua en x=0x=0.Ahora, estudiamos la derivabilidad en x=0x=0. Calculamos las derivadas de cada rama:Para x<0x < 0, f(x)=−x2−xf(x) = \frac{-x}{2 - x}:

f′(x)=−1⋅(2−x)−(−x)⋅(−1)(2−x)2=−2+x−x(2−x)2=−2(2−x)2f'(x) = \frac{-1 \cdot (2 - x) - (-x) \cdot (-1)}{(2 - x)^2} = \frac{-2 + x - x}{(2 - x)^2} = \frac{-2}{(2 - x)^2}

Para x>0,x≠2x > 0, x \neq 2, f(x)=x2−xf(x) = \frac{x}{2 - x}:

f′(x)=1⋅(2−x)−x⋅(−1)(2−x)2=2−x+x(2−x)2=2(2−x)2f'(x) = \frac{1 \cdot (2 - x) - x \cdot (-1)}{(2 - x)^2} = \frac{2 - x + x}{(2 - x)^2} = \frac{2}{(2 - x)^2}

Calculamos las derivadas laterales en x=0x=0:

f′(0−)=lim⁡x→0−−2(2−x)2=−2(2−0)2=−24=−12f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2}{(2 - x)^2} = \frac{-2}{(2 - 0)^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
f′(0+)=lim⁡x→0+2(2−x)2=2(2−0)2=24=12f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{(2 - x)^2} = \frac{2}{(2 - 0)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Dado que f′(0−)≠f′(0+)f'(0^-) \neq f'(0^+), la función f(x)f(x) no es derivable en x=0x=0.Conclusión de la derivabilidad: f(x)f(x) es derivable en (−∞,0)∪(0,2)∪(2,∞)(-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty).

b) Determinación de los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.

Utilizamos las derivadas calculadas en el apartado anterior:

f′(x)={−2(2−x)2si x<02(2−x)2si x>0,x≠2f'(x) = \begin{cases} \frac{-2}{(2 - x)^2} & \text{si } x < 0 \\ \frac{2}{(2 - x)^2} & \text{si } x > 0, x \neq 2 \end{cases}

El término (2−x)2(2 - x)^2 es siempre positivo para x≠2x \neq 2.Para x<0x < 0:

f′(x)=−2(2−x)2f'(x) = \frac{-2}{(2 - x)^2}

El numerador es −2-2 (negativo) y el denominador es positivo, por lo tanto f′(x)<0f'(x) < 0 para x<0x < 0. La función es decreciente en (−∞,0)(-\infty, 0).Para x>0x > 0 y x≠2x \neq 2:

f′(x)=2(2−x)2f'(x) = \frac{2}{(2 - x)^2}

El numerador es 22 (positivo) y el denominador es positivo, por lo tanto f′(x)>0f'(x) > 0 para x>0,x≠2x > 0, x \neq 2. La función es creciente en (0,2)∪(2,∞)(0, 2) \cup (2, \infty).Intervalos de crecimiento: (0,2)∪(2,∞)(0, 2) \cup (2, \infty).Intervalos de decrecimiento: (−∞,0)(-\infty, 0).