T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2017 · Ordinaria · Reserva

2A-b

b) El eje de una bobina de

100

espiras circulares de

5 \text{ cm}

de radio es paralelo a un campo magnético de intensidad

B = 0,5 + 0,2 t^2 \text{ T}

. Si la resistencia de la bobina es

0,5 \text{ } \Omega

, ¿cuál es la intensidad que circula por ella en el instante

t = 10 \text{ s}

Ley de FaradayBobinaIntensidad inducida

El eje de la bobina es paralelo al campo magnético, lo que significa que el campo es perpendicular al plano de cada espira, es decir, el ángulo entre $\vec{B}$ y la normal a la espira es $0^\circ$ .

Datos

Número de espiras: $N = 100$ , radio: $r = 5 \text{ cm} = 0{,}05 \text{ m}$ , campo magnético: $B = 0{,}5 + 0{,}2t^2 \text{ T}$ , resistencia: $R = 0{,}5 \ \Omega$ , instante: $t = 10 \text{ s}$ .

Flujo magnético total a través de la bobina

El flujo a través de una sola espira es $\Phi_1 = B \cdot A \cdot \cos(0^\circ) = B \cdot A$ , donde el área de cada espira es:

A = \pi r^2 = \pi \cdot (0{,}05)^2 = 7{,}854 \times 10^{-3} \text{ m}^2

El flujo total enlazado por la bobina de $N$ espiras es:

\Phi_{total} = N \cdot B \cdot A = 100 \cdot (0{,}5 + 0{,}2t^2) \cdot 7{,}854 \times 10^{-3}

FEM inducida (Ley de Faraday)

\varepsilon = -\frac{d\Phi_{total}}{dt} = -N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt}

Calculamos la derivada del campo magnético respecto al tiempo:

\frac{dB}{dt} = \frac{d}{dt}(0{,}5 + 0{,}2t^2) = 0{,}4t

En el instante $t = 10 \text{ s}$ :

\left.\frac{dB}{dt}\right|_{t=10} = 0{,}4 \times 10 = 4 \text{ T/s}

Por tanto, el valor de la FEM inducida en $t = 10 \text{ s}$ (tomando el valor absoluto para calcular la intensidad):

|\varepsilon| = N \cdot A \cdot \frac{dB}{dt} = 100 \times 7{,}854 \times 10^{-3} \times 4 = 3{,}14 \text{ V}

Intensidad de corriente inducida

Aplicando la Ley de Ohm:

I = \frac{|\varepsilon|}{R} = \frac{3{,}14}{0{,}5} = 6{,}28 \text{ A}

La intensidad que circula por la bobina en el instante $t = 10 \text{ s}$ es $I \approx 6{,}28 \text{ A}$ .