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T2: Interacción electromagnética
Magnetismo
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
B-b1
Examen

Un electrón, que parte del reposo, es acelerado mediante una diferencia de potencial y penetra con una velocidad v⃗=3⋅105i⃗ m/s\vec{v} = 3 \cdot 10^{5} \vec{i} \text{ m/s} en el seno de un campo magnético uniforme de valor B⃗=0,2j⃗ T\vec{B} = 0,2 \vec{j} \text{ T}. Determine razonadamente:

i) la trayectoria seguida por el electrón, ayudándose de un esquema;ii) el valor del radio y el periodo de la órbita que describe el electrón;iii) la diferencia de potencial necesaria para que el electrón adquiera la velocidad indicada.

Datos: e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Fuerza de LorentzRadio de curvaturaPeriodo orbital+1
i) La trayectoria de una partícula cargada en un campo magnético viene determinada por la fuerza de Lorentz. La expresión vectorial de esta fuerza es F⃗=q(v⃗×B⃗)\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}). Para un electrón, la carga es q=−eq = -e. Sustituyendo los vectores dados v⃗=3⋅105i⃗ m/s\vec{v} = 3 \cdot 10^5 \vec{i} \text{ m/s} y B⃗=0,2j⃗ T\vec{B} = 0,2 \vec{j} \text{ T}:
F⃗=−1,6⋅10−19 C⋅[(3⋅105i⃗ m/s)×(0,2j⃗ T)]=−9,6⋅10−15k⃗ N\vec{F} = -1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot [(3 \cdot 10^5 \vec{i} \text{ m/s}) \times (0,2 \vec{j} \text{ T})] = -9,6 \cdot 10^{-15} \vec{k} \text{ N}

Dado que la fuerza es perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético, y su módulo es constante, el electrón describe un movimiento circular uniforme (MCU). La trayectoria es una circunferencia situada en el plano XZXZ, ya que la fuerza inicial apunta en la dirección −k⃗-\vec{k}.

B (saliente)⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙-vF
ii) Para calcular el radio RR de la órbita, igualamos el módulo de la fuerza magnética con la fuerza centrípeta necesaria para mantener el movimiento circular:
∣q∣vB=mv2R  ⟹  R=mveB|q| v B = m \frac{v^2}{R} \implies R = \frac{m v}{e B}

Sustituimos los valores de la masa del electrón (me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}), velocidad y campo:

R=9,1⋅10−31 kg⋅3⋅105 m/s1,6⋅10−19 C⋅0,2 T=8,53⋅10−6 mR = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 3 \cdot 10^5 \text{ m/s}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 0,2 \text{ T}} = 8,53 \cdot 10^{-6} \text{ m}

El periodo TT es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta completa, definido por T=2πRvT = \frac{2 \pi R}{v}:

T=2π⋅8,53⋅10−6 m3⋅105 m/s=1,79⋅10−10 sT = \frac{2 \pi \cdot 8,53 \cdot 10^{-6} \text{ m}}{3 \cdot 10^5 \text{ m/s}} = 1,79 \cdot 10^{-10} \text{ s}
iii) La diferencia de potencial VV necesaria para acelerar el electrón se obtiene aplicando el principio de conservación de la energía. El trabajo realizado por el campo eléctrico se transforma íntegramente en energía cinética:
W=ΔEc  ⟹  eV=12mv2W = \Delta E_c \implies e V = \frac{1}{2} m v^2

Despejamos el potencial VV:

V=mv22e=9,1⋅10−31 kg⋅(3⋅105 m/s)22⋅1,6⋅10−19 CV = \frac{m v^2}{2 e} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^5 \text{ m/s})^2}{2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}}
V=8,19⋅10−20 J3,2⋅10−19 C=0,256 VV = \frac{8,19 \cdot 10^{-20} \text{ J}}{3,2 \cdot 10^{-19} \text{ C}} = 0,256 \text{ V}