T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y potencial gravitatorio

Problema

2019 · Ordinaria · Suplente

1A-b

Dos masas $m_1 = 200 \text{ kg}$ y $m_2 = 100 \text{ kg}$ se encuentran dispuestas en el eje $Y$ , como se indica en la figura. Determine, justificando su respuesta, el trabajo necesario para desplazar una pequeña masa $m_3 = 0,1 \text{ kg}$ , situada sobre el eje $X$ , desde $A$ hasta $B$ . Comente el signo de dicho trabajo.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Potencial gravitatorioMasa puntual

El trabajo necesario para desplazar una masa $m_3$ desde un punto A hasta un punto B es igual a la diferencia de energía potencial gravitatoria entre los puntos final e inicial:

W_{AB} = E_{pB} - E_{pA}

La energía potencial gravitatoria de la masa $m_3$ en un punto debido a la presencia de las masas $m_1$ y $m_2$ es la suma de las energías potenciales gravitatorias debidas a cada masa por separado:

E_p = -G \frac{m_1 m_3}{r_{13}} - G \frac{m_2 m_3}{r_{23}}

donde $r_{13}$ es la distancia entre $m_1$ y $m_3$ , y $r_{23}$ es la distancia entre $m_2$ y $m_3$ .

a) Cálculo de las distancias y energías potenciales en el punto A:

Las posiciones de las masas son: $m_1$ en $(0, 0.4 \text{ m})$ , $m_2$ en $(0, -0.4 \text{ m})$ . El punto A está en $(0.3 \text{ m}, 0)$ .

r_{1A} = \sqrt{(0.3 - 0)^2 + (0 - 0.4)^2} = \sqrt{0.3^2 + (-0.4)^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ m}

r_{2A} = \sqrt{(0.3 - 0)^2 + (0 - (-0.4))^2} = \sqrt{0.3^2 + 0.4^2} = \sqrt{0.09 + 0.16} = \sqrt{0.25} = 0.5 \text{ m}

La energía potencial en el punto A es:

E_{pA} = -G m_3 \left( \frac{m_1}{r_{1A}} + \frac{m_2}{r_{2A}} \right)

E_{pA} = -(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (0.1 \text{ kg}) \left( \frac{200 \text{ kg}}{0.5 \text{ m}} + \frac{100 \text{ kg}}{0.5 \text{ m}} \right)

E_{pA} = -(6.67 \cdot 10^{-12}) (400 + 200) \text{ J}

E_{pA} = -(6.67 \cdot 10^{-12}) (600) \text{ J}

E_{pA} = -4.002 \cdot 10^{-9} \text{ J}

b) Cálculo de las distancias y energías potenciales en el punto B:

El punto B está en $(0, 0)$ .

r_{1B} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 0.4)^2} = \sqrt{0^2 + (-0.4)^2} = 0.4 \text{ m}

r_{2B} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - (-0.4))^2} = \sqrt{0^2 + 0.4^2} = 0.4 \text{ m}

La energía potencial en el punto B es:

E_{pB} = -G m_3 \left( \frac{m_1}{r_{1B}} + \frac{m_2}{r_{2B}} \right)

E_{pB} = -(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (0.1 \text{ kg}) \left( \frac{200 \text{ kg}}{0.4 \text{ m}} + \frac{100 \text{ kg}}{0.4 \text{ m}} \right)

E_{pB} = -(6.67 \cdot 10^{-12}) (500 + 250) \text{ J}

E_{pB} = -(6.67 \cdot 10^{-12}) (750) \text{ J}

E_{pB} = -5.0025 \cdot 10^{-9} \text{ J}

c) Cálculo del trabajo necesario (

W_{AB}

W_{AB} = E_{pB} - E_{pA}

W_{AB} = (-5.0025 \cdot 10^{-9} \text{ J}) - (-4.002 \cdot 10^{-9} \text{ J})

W_{AB} = (-5.0025 + 4.002) \cdot 10^{-9} \text{ J}

W_{AB} = -1.0005 \cdot 10^{-9} \text{ J}

d) Comentario sobre el signo del trabajo:

El trabajo necesario para desplazar la masa $m_3$ desde A hasta B es negativo. Esto significa que la energía potencial gravitatoria del sistema disminuye al mover $m_3$ de A a B ( $E_{pB} < E_{pA}$ ). Físicamente, esto indica que el campo gravitatorio realiza un trabajo positivo sobre la masa $m_3$ al moverla de A a B (la masa se mueve a una región de menor energía potencial, más cerca de las masas $m_1$ y $m_2$ ). Si se requiere un trabajo externo negativo, significa que una fuerza externa tendría que "frenar" el movimiento de la masa (es decir, aplicar una fuerza opuesta al desplazamiento) para evitar que acelere bajo la acción de la gravedad, o bien que se podría extraer energía del sistema durante este desplazamiento.