T4: Funciones · Optimización — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%25C3%25ADa 2023

Optimización

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Halla dos números mayores o iguales que $0$ , cuya suma sea $1$ , y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

OptimizaciónExtremos relativos

Planteamiento del problema

Sean $x$ e $y$ los dos números buscados. Según el enunciado, se deben cumplir las siguientes condiciones:

x \ge 0, y \ge 0

x + y = 1

Queremos maximizar el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro. Definimos la función objetivo $f(x, y)$ :

f(x, y) = x \sqrt{y}

A partir de la restricción $x + y = 1$ , despejamos $x = 1 - y$ y sustituimos en la función para obtener una función con una única variable:

P(y) = (1 - y) \sqrt{y}

Dado que $x, y \ge 0$ y su suma es $1$ , el dominio de la función es el intervalo $[0, 1]$ .

Búsqueda del máximo

Para facilitar la derivación, reescribimos $P(y)$ :

P(y) = y^{1/2} - y^{3/2}

Calculamos la derivada de la función:

P'(y) = \frac{1}{2} y^{-1/2} - \frac{3}{2} y^{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{y}} - \frac{3\sqrt{y}}{2}

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos:

\frac{1 - 3y}{2\sqrt{y}} = 0 \implies 1 - 3y = 0 \implies y = \frac{1}{3}

Comprobamos que es un máximo analizando el signo de $P'(y)$ en el intervalo $(0, 1)$ :Si $0 < y < 1/3$ , entonces $P'(y) > 0$ , por lo que la función es creciente.Si $1/3 < y < 1$ , entonces $P'(y) < 0$ , por lo que la función es decreciente.Por lo tanto, existe un máximo relativo en $y = 1/3$ . Al ser el único extremo relativo en el dominio cerrado, y dado que en los extremos $P(0) = 0$ y $P(1) = 0$ , este es el máximo absoluto.

Resultado

Calculamos el valor de $x$ correspondiente:

x = 1 - y = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Los dos números que cumplen las condiciones del problema son:

x = \frac{2}{3}, y = \frac{1}{3}