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T4: Óptica
Leyes de Snell
Problema
2018 · Extraordinaria · Reserva
3A-b
Examen
b) Un rayo de luz que se propaga por el aire incide con un ángulo de 20∘20^{\circ} respecto de la vertical sobre un líquido A, cuyo índice de refracción es 1,21,2, propagándose seguidamente a otro líquido B de índice de refracción 1,51,5. Represente el esquema de rayos correspondiente, determine la velocidad de la luz en cada medio y calcule el ángulo que forma dicho rayo con la vertical en el líquido B.

Datos: naire=1n_{aire} = 1; c=3⋅108 m s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}

refracciónvelocidad de la luzíndice de refracción+1
b) Refracción sucesiva: Aire → Líquido A → Líquido B
Aire (n=1)Líquido A (n=1,2)θr
Velocidad de la luz en cada medio

El índice de refracción se relaciona con la velocidad mediante n=cvn = \dfrac{c}{v}, por tanto v=cnv = \dfrac{c}{n}.Velocidad en el líquido A (nA=1,2n_A = 1{,}2):

vA=cnA=3×1081,2=2,5×108 m s−1v_A = \frac{c}{n_A} = \frac{3 \times 10^8}{1{,}2} = 2{,}5 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}

Velocidad en el líquido B (nB=1,5n_B = 1{,}5):

vB=cnB=3×1081,5=2,0×108 m s−1v_B = \frac{c}{n_B} = \frac{3 \times 10^8}{1{,}5} = 2{,}0 \times 10^8 \text{ m s}^{-1}
Ángulo en el líquido A (interfaz Aire → Líquido A)

Aplicando la Ley de Snell en la primera interfaz (el ángulo de incidencia θ1=20∘\theta_1 = 20^\circ respecto a la normal, es decir, respecto a la vertical):

naire⋅sin⁡θ1=nA⋅sin⁡θAn_{aire} \cdot \sin\theta_1 = n_A \cdot \sin\theta_A
1⋅sin⁡20∘=1,2⋅sin⁡θA1 \cdot \sin 20^\circ = 1{,}2 \cdot \sin\theta_A
sin⁡θA=sin⁡20∘1,2=0,3421,2=0,285\sin\theta_A = \frac{\sin 20^\circ}{1{,}2} = \frac{0{,}342}{1{,}2} = 0{,}285
θA=arcsin⁡(0,285)≈16,6∘\theta_A = \arcsin(0{,}285) \approx 16{,}6^\circ
Ángulo en el líquido B (interfaz Líquido A → Líquido B)

Aplicando la Ley de Snell en la segunda interfaz, con θA≈16,6∘\theta_A \approx 16{,}6^\circ como ángulo de incidencia:

nA⋅sin⁡θA=nB⋅sin⁡θBn_A \cdot \sin\theta_A = n_B \cdot \sin\theta_B
1,2⋅sin⁡16,6∘=1,5⋅sin⁡θB1{,}2 \cdot \sin 16{,}6^\circ = 1{,}5 \cdot \sin\theta_B

Nótese que nA⋅sin⁡θA=naire⋅sin⁡θ1=1⋅sin⁡20∘=0,342n_A \cdot \sin\theta_A = n_{aire} \cdot \sin\theta_1 = 1 \cdot \sin 20^\circ = 0{,}342, por lo que:

sin⁡θB=0,3421,5=0,228\sin\theta_B = \frac{0{,}342}{1{,}5} = 0{,}228
θB=arcsin⁡(0,228)≈13,2∘\theta_B = \arcsin(0{,}228) \approx 13{,}2^\circ

El rayo forma un ángulo de aproximadamente 13,2∘13{,}2^\circ con la vertical (normal a la superficie) en el líquido B. Al pasar a medios con mayor índice de refracción, el rayo se acerca progresivamente a la normal.