T1: Interacción gravitatoria

Conservación de la energía

Problema

2017 · Extraordinaria · Reserva

1B-b

b) Según la NASA, el asteroide que en 2013 cayó sobre Rusia explotó cuando estaba a

20 \text{ km}

de altura sobre la superficie terrestre y su velocidad era

18 \text{ km s}^{-1}

. Calcule la velocidad del asteroide cuando se encontraba a

30000 \text{ km}

de la superficie de la Tierra. Considere despreciable el rozamiento del aire.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$

velocidad de escapeconservación de energía mecánica

Aplicamos la conservación de la energía mecánica entre los dos puntos: el punto inicial (a 30000 km de la superficie) y el punto final (a 20 km de la superficie, justo antes de la explosión). Al despreciar el rozamiento del aire, la energía mecánica se conserva.

E_{mec,1} = E_{mec,2}

\frac{1}{2}mv_1^2 - \frac{GM_T m}{r_1} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{GM_T m}{r_2}

Simplificando la masa del asteroide $m$ (que se cancela en todos los términos):

\frac{1}{2}v_1^2 - \frac{GM_T}{r_1} = \frac{1}{2}v_2^2 - \frac{GM_T}{r_2}

Despejamos la velocidad inicial $v_1$ :

v_1^2 = v_2^2 + 2GM_T\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)

Calculamos las distancias al centro de la Tierra. El radio terrestre es $R_T = 6{,}37 \times 10^6 \text{ m}$ :

Punto 1 (asteroide a 30000 km de la superficie):

r_1 = R_T + 30000 \text{ km} = 6{,}37 \times 10^6 + 3{,}00 \times 10^7 = 3{,}637 \times 10^7 \text{ m}

Punto 2 (explosión a 20 km de la superficie):

r_2 = R_T + 20 \text{ km} = 6{,}37 \times 10^6 + 2{,}0 \times 10^4 = 6{,}39 \times 10^6 \text{ m}

Calculamos el término gravitatorio:

2GM_T\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) = 2 \times 6{,}67\times10^{-11} \times 5{,}97\times10^{24} \left(\frac{1}{3{,}637\times10^7} - \frac{1}{6{,}39\times10^6}\right)

2GM_T = 2 \times 6{,}67\times10^{-11} \times 5{,}97\times10^{24} = 7{,}965\times10^{14} \text{ m}^3\text{s}^{-2}

\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{1}{3{,}637\times10^7} - \frac{1}{6{,}39\times10^6} = 2{,}750\times10^{-8} - 1{,}565\times10^{-7} = -1{,}290\times10^{-7} \text{ m}^{-1}

Nótese que $\frac{1}{r_1} < \frac{1}{r_2}$ , por lo que el término es negativo, lo que es coherente: el asteroide gana energía cinética al acercarse (la energía potencial gravitatoria disminuye, es decir, se hace más negativa, pero la cinética aumenta). Reordenando correctamente:

v_1^2 = v_2^2 - 2GM_T\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)

\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1} = 1{,}565\times10^{-7} - 2{,}750\times10^{-8} = 1{,}290\times10^{-7} \text{ m}^{-1}

2GM_T\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right) = 7{,}965\times10^{14} \times 1{,}290\times10^{-7} = 1{,}027\times10^{8} \text{ m}^2\text{s}^{-2}

La velocidad en el punto 2 es $v_2 = 18 \text{ km/s} = 1{,}8 \times 10^4 \text{ m/s}$ , por lo que $v_2^2 = 3{,}24 \times 10^8 \text{ m}^2\text{s}^{-2}$ .

v_1^2 = 3{,}24\times10^8 - 1{,}027\times10^8 = 2{,}213\times10^8 \text{ m}^2\text{s}^{-2}

v_1 = \sqrt{2{,}213\times10^8} \approx 1{,}488\times10^4 \text{ m/s} \approx 14{,}9 \text{ km/s}

La velocidad del asteroide cuando se encontraba a 30000 km de la superficie de la Tierra era aproximadamente $v_1 \approx 1{,}49 \times 10^4 \text{ m/s} \approx 14{,}9 \text{ km/s}$ .