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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2018 · Extraordinaria · Suplente
4B-b
Examen
4. b) Se acelera un protón desde el reposo mediante una diferencia de potencial de 5000 V5000 \text{ V}. Determine la velocidad del protón y su longitud de onda de De Broglie. Si en lugar de un protón fuera un electrón el que se acelera con la misma diferencia de potencial, calcule su energía cinética y longitud de onda. Justifique todas sus respuestas.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅s;e=1,6⋅10−19 C;mp=1,7⋅10−27 kg;me=9,1⋅10−31 kgh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_{p} = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; m_{e} = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Aceleración de partículasEnergía cinéticaLongitud de onda de De Broglie
Aceleración de partículas cargadas mediante diferencia de potencial

Cuando una partícula de carga qq se acelera desde el reposo mediante una diferencia de potencial VV, el trabajo realizado por el campo eléctrico se convierte íntegramente en energía cinética:

q⋅V=12mv2q \cdot V = \frac{1}{2} m v^2
PROTÓN acelerado con ΔV=5000\Delta V = 5000 V
Velocidad del protón

Despejando la velocidad de la ecuación de energía cinética:

vp=2⋅q⋅Vmpv_p = \sqrt{\frac{2 \cdot q \cdot V}{m_p}}
vp=2⋅(1,6⋅10−19 C)⋅(5000 V)1,7⋅10−27 kgv_p = \sqrt{\frac{2 \cdot (1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}) \cdot (5000\ \text{V})}{1{,}7 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}}}
vp=1,6⋅10−151,7⋅10−27=9,41⋅1011≈9,70⋅105 m/sv_p = \sqrt{\frac{1{,}6 \cdot 10^{-15}}{1{,}7 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}41 \cdot 10^{11}} \approx 9{,}70 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}
Longitud de onda de De Broglie del protón

La longitud de onda de De Broglie se expresa como:

λ=hm⋅v\lambda = \frac{h}{m \cdot v}
λp=6,63⋅10−34 J⋅s(1,7⋅10−27 kg)⋅(9,70⋅105 m/s)\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}}{(1{,}7 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}) \cdot (9{,}70 \cdot 10^{5}\ \text{m/s})}
λp=6,63⋅10−341,649⋅10−21≈4,02⋅10−13 m\lambda_p = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{1{,}649 \cdot 10^{-21}} \approx 4{,}02 \cdot 10^{-13}\ \text{m}
ELECTRÓN acelerado con ΔV=5000\Delta V = 5000 V
Energía cinética del electrón

La energía cinética adquirida por el electrón es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico. Como la carga del electrón es la misma que la del protón en módulo (e=1,6⋅10−19e = 1{,}6 \cdot 10^{-19} C):

Ek=e⋅V=(1,6⋅10−19 C)⋅(5000 V)E_k = e \cdot V = (1{,}6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}) \cdot (5000\ \text{V})
Ek=8,0⋅10−16 JE_k = 8{,}0 \cdot 10^{-16}\ \text{J}

Nótese que la energía cinética del electrón es la misma que la del protón, ya que ambos tienen la misma carga y se someten a la misma diferencia de potencial. Sin embargo, al tener menor masa, el electrón alcanza una velocidad mucho mayor.

Velocidad del electrón (intermedio para $\lambda$)
ve=2⋅Ekme=2⋅8,0⋅10−169,1⋅10−31v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot E_k}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8{,}0 \cdot 10^{-16}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}}
ve=1,758⋅1015≈4,19⋅107 m/sv_e = \sqrt{1{,}758 \cdot 10^{15}} \approx 4{,}19 \cdot 10^{7}\ \text{m/s}
Longitud de onda de De Broglie del electrón
λe=hme⋅ve=6,63⋅10−34(9,1⋅10−31)⋅(4,19⋅107)\lambda_e = \frac{h}{m_e \cdot v_e} = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{(9{,}1 \cdot 10^{-31}) \cdot (4{,}19 \cdot 10^{7})}
λe=6,63⋅10−343,813⋅10−23≈1,74⋅10−11 m\lambda_e = \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34}}{3{,}813 \cdot 10^{-23}} \approx 1{,}74 \cdot 10^{-11}\ \text{m}
Resumen de resultados
Protón: vp≈9,70⋅105 m/sv_p \approx 9{,}70 \cdot 10^5\ \text{m/s} y λp≈4,02⋅10−13 m\lambda_p \approx 4{,}02 \cdot 10^{-13}\ \text{m}Electrón: Ek=8,0⋅10−16 JE_k = 8{,}0 \cdot 10^{-16}\ \text{J} y λe≈1,74⋅10−11 m\lambda_e \approx 1{,}74 \cdot 10^{-11}\ \text{m}

El electrón tiene una longitud de onda de De Broglie mucho mayor que el protón para la misma diferencia de potencial, ya que su masa es mucho menor. Esto hace que los efectos cuánticos (como la difracción) sean más apreciables para el electrón.