T2: Interacción electromagnética

Campo magnético e hilos de corriente

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

B1-b

b) i) Por un hilo rectilíneo muy largo circula una intensidad de corriente de

3 \text{ A}

. Determine razonadamente el módulo de la fuerza magnética que actúa sobre una carga de

4 \cdot 10^{-3} \text{ C}

que se mueve con una velocidad de

8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

paralela al hilo y a una distancia de

2 \text{ m}

del mismo.ii) Un segundo hilo, por el que circula una corriente de

1 \text{ A}

en el mismo sentido, se sitúa paralelo al primero a una distancia de

1 \text{ m}

. Determine justificadamente a qué distancia del primer hilo se anula el campo magnético.

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$

hilo indefinidofuerza magnéticapunto de anulación campo

b) i) Para determinar la fuerza magnética sobre la carga, primero calculamos el módulo del campo magnético

B

generado por el hilo rectilíneo a una distancia

r = 2 \text{ m}

utilizando la ley de Ampère para un conductor indefinido:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Sustituyendo los datos del enunciado:

B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 3 \text{ A}}{2\pi \cdot 2 \text{ m}} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ T}

La fuerza magnética sobre una carga en movimiento se define mediante la expresión $\vec{F}_m = q (\vec{v} \times \vec{B})$ . Dado que la velocidad es paralela al hilo y el campo magnético generado por el hilo es circular y perpendicular al mismo en cada punto, los vectores $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares entre sí (forman un ángulo de $90^\circ$ ).

El módulo de la fuerza magnética es:

F_m = |q| v B \sin(90^\circ)

F_m = 4 \cdot 10^{-3} \text{ C} \cdot 8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot 3 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot 1 = 9.6 \cdot 10^{-9} \text{ N}

ii) Para que el campo magnético resultante sea nulo en un punto situado entre dos hilos con corrientes en el mismo sentido, los campos magnéticos individuales

\vec{B}_1

\vec{B}_2

deben tener igual módulo y sentidos opuestos.

Si situamos el punto de anulación a una distancia $x$ del primer hilo ( $I_1 = 3 \text{ A}$ ), la distancia al segundo hilo ( $I_2 = 1 \text{ A}$ ) será $d - x$ , donde $d = 1 \text{ m}$ . Igualamos los módulos de los campos:

\frac{\mu_0 I_1}{2\pi x} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi (d - x)}

Simplificando la constante $\frac{\mu_0}{2\pi}$ y sustituyendo los valores de las intensidades:

\frac{3}{x} = \frac{1}{1 - x}

Resolvemos la ecuación algebraica:

3(1 - x) = x \implies 3 - 3x = x \implies 4x = 3 \implies x = 0.75 \text{ m}

Por lo tanto, el campo magnético se anula a una distancia de $0.75 \text{ m}$ del primer hilo.