AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T2: Interacción electromagnética
Cargas puntuales
Problema
2019 · Extraordinaria · Titular
2B-b
Examen
b) Una partícula de carga QQ, situada en el origen de coordenadas, O(0,0) mO (0,0) \text{ m}, crea en un punto A situado en el eje OX, un potencial VA=−120 VV_A = -120 \text{ V} y un campo eléctrico EA=−80i⃗ N C−1E_A = -80\vec{i} \text{ N C}^{-1}. Dibuje un esquema del problema y calcule: i) El valor de la carga QQ y la posición del punto A. ii) El trabajo necesario para llevar un electrón desde el punto A hasta un punto B de coordenadas (2,2) m(2,2) \text{ m}.

Datos: K=9⋅109 N m2 C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N m}^2 \text{ C}^{-2}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Potencial eléctricoCampo eléctricoTrabajo eléctrico
b) Esquema del problema:
XY-QAE1
i) Valor de la carga Q y posición del punto A.

El potencial y el campo eléctrico creados por una carga puntual QQ a distancia rr son:

VA=KQrAEA=KQrA2V_A = K \dfrac{Q}{r_A} \qquad E_A = K \dfrac{Q}{r_A^2}

El campo eléctrico tiene componente EA=−80 N/CE_A = -80 \text{ N/C} en la dirección i⃗\vec{i}, lo que indica que el campo apunta en sentido negativo del eje OX (hacia la izquierda). El punto A está en el eje OX con xA>0x_A > 0, y el campo apunta hacia O, lo cual es consistente con una carga Q<0Q < 0 (carga negativa en el origen).Dividiendo el potencial entre el campo (en módulo) se obtiene la posición de A:

VAEA=K Q/rAK Q/rA2=rA\dfrac{V_A}{E_A} = \dfrac{K\,Q/r_A}{K\,Q/r_A^2} = r_A

Usando los módulos con sus signos (el campo en módulo es ∣EA∣=80|E_A| = 80 N/C y el potencial VA=−120V_A = -120 V):

rA=VAEA,x=−120−80=1,5 mr_A = \dfrac{V_A}{E_{A,x}} = \dfrac{-120}{-80} = 1{,}5 \text{ m}

Por tanto, el punto A se encuentra en xA=1,5x_A = 1{,}5 m, es decir, A(1,5 ; 0) mA(1{,}5 \text{ ; } 0) \text{ m}.Ahora se calcula la carga QQ usando la expresión del potencial:

VA=KQrA  ⟹  Q=VA⋅rAK=(−120)(1,5)9⋅109V_A = K\dfrac{Q}{r_A} \implies Q = \dfrac{V_A \cdot r_A}{K} = \dfrac{(-120)(1{,}5)}{9 \cdot 10^9}
Q=−1809⋅109=−2⋅10−8 C=−20 nCQ = \dfrac{-180}{9 \cdot 10^9} = -2 \cdot 10^{-8} \text{ C} = -20 \text{ nC}

Verificación con el campo: E=K∣Q∣/rA2=(9⋅109)(2⋅10−8)/(1,5)2=180/2,25=80E = K|Q|/r_A^2 = (9\cdot10^9)(2\cdot10^{-8})/(1{,}5)^2 = 180/2{,}25 = 80 N/C ✓

ii) Trabajo necesario para llevar un electrón desde A hasta B(2, 2) m.

El trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga qq entre dos puntos es:

WA→B=q (VA−VB)W_{A \to B} = q\,(V_A - V_B)

Primero se calcula la distancia rBr_B desde el origen O hasta el punto B(2,2)B(2, 2) m:

rB=22+22=8=22≈2,828 mr_B = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}828 \text{ m}

Se calcula el potencial en B:

VB=KQrB=(9⋅109)(−2⋅10−8)22=−18022=−902≈−63,64 VV_B = K\dfrac{Q}{r_B} = \dfrac{(9 \cdot 10^9)(-2 \cdot 10^{-8})}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-180}{2\sqrt{2}} = \dfrac{-90}{\sqrt{2}} \approx -63{,}64 \text{ V}

La carga del electrón es q=−e=−1,6⋅10−19q = -e = -1{,}6 \cdot 10^{-19} C. El trabajo realizado por el campo para mover el electrón de A a B es:

WA→B=q (VA−VB)=(−1,6⋅10−19)(−120−(−902))W_{A \to B} = q\,(V_A - V_B) = (-1{,}6 \cdot 10^{-19})\left(-120 - \left(-\dfrac{90}{\sqrt{2}}\right)\right)
VA−VB=−120+902=−120+63,64=−56,36 VV_A - V_B = -120 + \dfrac{90}{\sqrt{2}} = -120 + 63{,}64 = -56{,}36 \text{ V}
WA→B=(−1,6⋅10−19)(−56,36)≈9,02⋅10−18 JW_{A \to B} = (-1{,}6 \cdot 10^{-19})(-56{,}36) \approx 9{,}02 \cdot 10^{-18} \text{ J}

El trabajo realizado por el campo sobre el electrón al llevarlo de A a B es W≈9,02⋅10−18W \approx 9{,}02 \cdot 10^{-18} J. Si se pide el trabajo externo necesario para moverlo (trabajo realizado contra el campo), este sería Wext=−W≈−9,02⋅10−18W_{ext} = -W \approx -9{,}02 \cdot 10^{-18} J.