T1: Interacción gravitatoria · Campo gravitatorio — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2018

Campo gravitatorio

Teoría

2018 · Ordinaria · Titular

1A-a

a) Si la masa y el radio de la Tierra se duplican, razone si las siguientes afirmaciones son correctas: (i) El periodo orbital de la Luna se duplica; (ii) su velocidad orbital permanece constante.

Periodo orbitalVelocidad orbitalLeyes de Kepler

Efectos sobre la órbita lunar al duplicar masa y radio de la Tierra

Partimos de las expresiones para la velocidad orbital y el periodo orbital de un satélite (la Luna) en órbita circular alrededor de la Tierra. La condición de equilibrio entre la fuerza gravitatoria y la fuerza centrípeta es:

\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}

donde $M$ es la masa de la Tierra, $m$ la masa de la Luna, $r$ la distancia orbital Luna-Tierra (radio orbital de la Luna) y $G$ la constante gravitacional.Importante: el radio orbital de la Luna $r$ es la distancia entre los centros de la Tierra y la Luna. Si se duplica el radio de la Tierra (su tamaño físico), la distancia orbital de la Luna $r$ NO cambia, ya que la Luna orbita muy lejos de la superficie terrestre y su órbita no depende del tamaño físico de la Tierra, sino de su masa y de la distancia al centro.

Velocidad orbital de la Luna

De la condición de equilibrio gravitacional se obtiene:

v = \sqrt{\frac{GM}{r}}

Si la masa de la Tierra se duplica ( $M' = 2M$ ) y el radio orbital de la Luna permanece constante ( $r' = r$ ), la nueva velocidad orbital será:

v' = \sqrt{\frac{G \cdot 2M}{r}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{2}\, v

La velocidad orbital aumenta por un factor $\sqrt{2}$ . Por tanto, la afirmación (ii) "su velocidad orbital permanece constante" es FALSA.

Periodo orbital de la Luna

El periodo orbital se obtiene de la Tercera Ley de Kepler:

T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}

Con $M' = 2M$ y $r' = r$ (el radio orbital de la Luna no cambia al duplicar el tamaño físico de la Tierra):

T' = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot 2M}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}} = \frac{T}{\sqrt{2}}

El periodo orbital disminuye por un factor $\sqrt{2}$ , es decir, $T' = \dfrac{T}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\,T$ . Por tanto, la afirmación (i) "el periodo orbital de la Luna se duplica" es FALSA.

Conclusión

(i) FALSO: el periodo no se duplica, sino que disminuye:

T' = \dfrac{T}{\sqrt{2}}

.(ii) FALSO: la velocidad orbital no permanece constante, sino que aumenta:

v' = \sqrt{2}\,v

La clave es que duplicar el radio físico de la Tierra no modifica el radio orbital de la Luna (que depende de la historia dinámica del sistema), pero duplicar la masa de la Tierra sí aumenta la fuerza gravitatoria, lo que provoca mayor velocidad orbital y menor periodo.