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T5: Física moderna
Dualidad onda-corpúsculo
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
D2-b
Examen
b) En un microscopio electrónico se aplica una diferencia de potencial de 3000 V3000 \text{ V} a electrones que inicialmente están en reposo. Determine razonadamente: i) la longitud de onda de De Broglie de los electrones; ii) la longitud de onda de De Broglie si la diferencia de potencial se reduce a 50 V50 \text{ V}.

Datos: h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Longitud de onda de De BroglieElectronesDiferencia de potencial

Cuando un electrón de carga ee y masa mem_e es acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial VV, adquiere una energía cinética EcE_c igual al trabajo realizado por el campo eléctrico:

e⋅V=Ec=12mev2e \cdot V = E_c = \frac{1}{2} m_e v^2

Relacionando la energía cinética con el momento lineal (p=mevp = m_e v), se obtiene que Ec=p22meE_c = \frac{p^2}{2 m_e}. Por tanto, el momento lineal del electrón es:

p=2⋅me⋅e⋅Vp = \sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot V}

Según la hipótesis de De Broglie, la longitud de onda asociada a una partícula es λ=hp\lambda = \frac{h}{p}. Sustituyendo la expresión del momento, obtenemos la fórmula general para este ejercicio:

λ=h2⋅me⋅e⋅V\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot V}}
b) i) Para una diferencia de potencial de V=3000 VV = 3000 \text{ V}, calculamos la longitud de onda sustituyendo los valores proporcionados:
λ1=6,63⋅10−34 J⋅s2⋅9,1⋅10−31 kg⋅1,6⋅10−19 C⋅3000 V\lambda_1 = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 3000 \text{ V}}}
λ1≈2,24⋅10−11 m\lambda_1 \approx 2,24 \cdot 10^{-11} \text{ m}
b) ii) Si la diferencia de potencial se reduce a V=50 VV = 50 \text{ V}, procedemos de forma análoga:
λ2=6,63⋅10−34 J⋅s2⋅9,1⋅10−31 kg⋅1,6⋅10−19 C⋅50 V\lambda_2 = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{\sqrt{2 \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 50 \text{ V}}}
λ2≈1,73⋅10−10 m\lambda_2 \approx 1,73 \cdot 10^{-10} \text{ m}

Como se observa, al disminuir el potencial de aceleración, la velocidad y el momento lineal del electrón disminuyen, lo que resulta en un aumento de su longitud de onda de De Broglie asociada.