T4: Funciones · Análisis de funciones — MATEMATICAS II PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2025

Análisis de funciones

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

Considera la función $f : (-1, 1) \to \mathbb{R}$ definida por:

f(x) = \frac{1}{(1 - |x|)^2}

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de la función

f

.b) Halla, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

ContinuidadDerivabilidadExtremos absolutos

Apartado a) Continuidad y derivabilidad

La función $f(x) = \dfrac{1}{(1-|x|)^2}$ está definida en $(-1,1)$ . Estudiamos por separado los casos $x \geq 0$ y $x < 0$ .Para $x \in [0,1)$ : $|x| = x$ , luego $f(x) = \dfrac{1}{(1-x)^2}$ , que es composición de funciones continuas y derivables (el denominador no se anula en $[0,1)$ ). Por tanto $f$ es continua y derivable en $(0,1)$ .Para $x \in (-1,0)$ : $|x| = -x$ , luego $f(x) = \dfrac{1}{(1+x)^2}$ , que es continua y derivable en $(-1,0)$ .Queda estudiar el punto $x = 0$ . Calculamos los límites laterales de $f$ y $f'$ :

Continuidad en

x=0

\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{(1-0)^2} = 1, \quad \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{(1+0)^2} = 1, \quad f(0) = \frac{1}{(1-0)^2} = 1

Los tres valores coinciden, por lo que $f$ es continua en $x=0$ . En consecuencia, $f$ es continua en todo $(-1,1)$ .

Derivabilidad en

x=0

Las derivadas de $f$ en cada zona son:

f'(x) = \frac{2}{(1-x)^3} \quad \text{para } x \in (0,1)

f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^3} \quad \text{para } x \in (-1,0)

Calculamos las derivadas laterales en $x=0$ :

f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{2}{(1-x)^3} = 2

f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-2}{(1+x)^3} = -2

Como $f'_+(0) = 2 \neq -2 = f'_-(0)$ , la función $f$ NO es derivable en $x = 0$ .Conclusión: $f$ es continua en $(-1,1)$ y derivable en $(-1,0) \cup (0,1)$ , pero no derivable en $x=0$ .

Apartado b) Extremos absolutos

El dominio es el intervalo abierto $(-1,1)$ . Para encontrar extremos absolutos estudiamos el signo de $f'$ en cada subintervalo y el comportamiento en los extremos del dominio.

Puntos críticos interiores (donde

f'=0

f'

no existe):

Para $x \in (0,1)$ : $f'(x) = \dfrac{2}{(1-x)^3} > 0$ siempre. No hay puntos críticos en $(0,1)$ .Para $x \in (-1,0)$ : $f'(x) = \dfrac{-2}{(1+x)^3}$ . Como $(1+x)^3 > 0$ para $x \in (-1,0)$ , se tiene $f'(x) < 0$ siempre. No hay puntos críticos en $(-1,0)$ .El único punto donde $f'$ no existe en el dominio es $x=0$ . Allí $f$ decrece a la izquierda ( $f'<0$ ) y crece a la derecha ( $f'>0$ ), luego $x=0$ es un mínimo local.

Comportamiento en los extremos del dominio (abierto):

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{(1-x)^2} = +\infty

\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} \frac{1}{(1+x)^2} = +\infty

Como el dominio es abierto, los extremos $x = \pm 1$ no pertenecen al dominio y la función no alcanza $+\infty$ .

Conclusión sobre extremos absolutos:

La función tiene un mínimo absoluto en $x = 0$ con valor $f(0) = 1$ , ya que $f(x) \geq 1$ para todo $x \in (-1,1)$ (el denominador $(1-|x|)^2 \leq 1$ ) y la función no alcanza ningún máximo absoluto, pues $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to \pm 1$ .Verificación: para cualquier $x \in (-1,1)$ , $0 < 1-|x| \leq 1$ , luego $(1-|x|)^2 \leq 1$ , por lo que $f(x) = \dfrac{1}{(1-|x|)^2} \geq 1 = f(0)$ . Queda confirmado que el mínimo absoluto es $f(0)=1$ en $x=0$ , y no existe máximo absoluto.