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T4: Óptica
Refracción (Ley de Snell)
Problema
2017 · Extraordinaria · Suplente
3B-b
Examen

Un haz de luz de 5⋅1014 Hz5 \cdot 10^{14} \text{ Hz} viaja por el interior de un bloque de diamante. Si la luz emerge al aire con un ángulo de refracción de 10∘10^\circ, dibuje la trayectoria del haz y

b) determine el ángulo de incidencia y el valor de la longitud de onda en ambos medios.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1;ndiamante=2,42;naire=1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; n_{\text{diamante}} = 2,42; n_{\text{aire}} = 1

Índice de refracciónLongitud de onda

La luz viaja del diamante (medio más denso, n=2,42) hacia el aire (medio menos denso, n=1), por lo que el rayo refractado se aleja de la normal.

Diamante (n=2,42)Aire (n=1)θr
b) Ángulo de incidencia (en el diamante) y longitud de onda en ambos medios.
Ángulo de incidencia

Aplicando la Ley de Snell en la interfaz diamante-aire:

n1⋅sin⁡θ1=n2⋅sin⁡θ2n_1 \cdot \sin\theta_1 = n_2 \cdot \sin\theta_2

Donde n1=2,42n_1 = 2{,}42 (diamante), θ1\theta_1 es el ángulo de incidencia (desconocido), n2=1n_2 = 1 (aire) y θ2=10∘\theta_2 = 10^\circ.

2,42⋅sin⁡θ1=1⋅sin⁡10∘2{,}42 \cdot \sin\theta_1 = 1 \cdot \sin 10^\circ
sin⁡θ1=sin⁡10∘2,42=0,17362,42=0,0718\sin\theta_1 = \frac{\sin 10^\circ}{2{,}42} = \frac{0{,}1736}{2{,}42} = 0{,}0718
θ1=arcsin⁡(0,0718)≈4,1∘\theta_1 = \arcsin(0{,}0718) \approx 4{,}1^\circ
Longitud de onda en el aire

La velocidad de la luz en el aire es prácticamente cc, por lo que:

λaire=cf=3⋅108 m/s5⋅1014 Hz=6⋅10−7 m=600 nm\lambda_{\text{aire}} = \frac{c}{f} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}} = 6 \cdot 10^{-7} \text{ m} = 600 \text{ nm}
Longitud de onda en el diamante

La velocidad de la luz en el diamante es:

vdiamante=cndiamante=3⋅1082,42=1,24⋅108 m/sv_{\text{diamante}} = \frac{c}{n_{\text{diamante}}} = \frac{3 \cdot 10^8}{2{,}42} = 1{,}24 \cdot 10^8 \text{ m/s}

La frecuencia no cambia al cambiar de medio, por lo que la longitud de onda en el diamante es:

λdiamante=vdiamantef=1,24⋅108 m/s5⋅1014 Hz=2,48⋅10−7 m=248 nm\lambda_{\text{diamante}} = \frac{v_{\text{diamante}}}{f} = \frac{1{,}24 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Hz}} = 2{,}48 \cdot 10^{-7} \text{ m} = 248 \text{ nm}

También se puede calcular directamente como:

λdiamante=λairendiamante=600 nm2,42≈248 nm\lambda_{\text{diamante}} = \frac{\lambda_{\text{aire}}}{n_{\text{diamante}}} = \frac{600 \text{ nm}}{2{,}42} \approx 248 \text{ nm}
Resultados
Ángulo de incidencia en el diamante: θ1≈4,1∘\theta_1 \approx 4{,}1^\circLongitud de onda en el aire: λaire=600 nm\lambda_{\text{aire}} = 600 \text{ nm}Longitud de onda en el diamante: λdiamante≈248 nm\lambda_{\text{diamante}} \approx 248 \text{ nm}