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T3: Geometría
Intersección de rectas
Problema
2021 · Ordinaria · Titular
8
Examen

La recta r≡x+32=y+42=z−33r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3} y la recta ss, que pasa por los puntos P(1,0,2)P(1, 0, 2) y Q(a,1,0)Q(a, 1, 0), se cortan en un punto. Calcula el valor de aa y el punto de corte.

Posición relativa de rectasPunto de corteCálculo de parámetros
Obtención de las ecuaciones paramétricas de las rectas

Primero, expresamos cada recta en su forma paramétrica.

a) Recta rr

La recta rr viene dada en su forma continua: x+32=y+42=z−33\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3} De esta ecuación, podemos extraer un punto ArA_r y su vector director dr⃗\vec{d_r}:

Ar=(−3,−4,3)A_r = (-3, -4, 3)
dr⃗=(2,2,3)\vec{d_r} = (2, 2, 3)

Las ecuaciones paramétricas de rr son:

{x=−3+2λy=−4+2λz=3+3λ\begin{cases} x = -3 + 2\lambda \\ y = -4 + 2\lambda \\ z = 3 + 3\lambda \end{cases}
b) Recta ss

La recta ss pasa por los puntos P(1,0,2)P(1, 0, 2) y Q(a,1,0)Q(a, 1, 0). Podemos tomar PP como un punto de la recta.El vector director de ss, ds⃗\vec{d_s}, se obtiene restando las coordenadas de PP y QQ:

ds⃗=PQ⃗=Q−P=(a−1,1−0,0−2)=(a−1,1,−2)\vec{d_s} = \vec{PQ} = Q - P = (a - 1, 1 - 0, 0 - 2) = (a - 1, 1, -2)

Las ecuaciones paramétricas de ss son:

{x=1+(a−1)μy=μz=2−2μ\begin{cases} x = 1 + (a - 1)\mu \\ y = \mu \\ z = 2 - 2\mu \end{cases}
Cálculo del valor de $a$ y el punto de corte

Para que las rectas se corten, debe existir un punto común, lo que implica que sus coordenadas deben ser iguales para ciertos valores de λ\lambda y μ\mu. Igualamos las expresiones de x,y,zx, y, z:

{−3+2λ=1+(a−1)μ(1)−4+2λ=μ(2)3+3λ=2−2μ(3)\begin{cases} -3 + 2\lambda = 1 + (a - 1)\mu \quad (1) \\ -4 + 2\lambda = \mu \quad (2) \\ 3 + 3\lambda = 2 - 2\mu \quad (3) \end{cases}

Primero, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones (2) y (3) para encontrar los valores de λ\lambda y μ\mu. De la ecuación (2) despejamos μ\mu:

μ=2λ−4\mu = 2\lambda - 4

Sustituimos esta expresión de μ\mu en la ecuación (3):

3+3λ=2−2(2λ−4)3 + 3\lambda = 2 - 2(2\lambda - 4)
3+3λ=2−4λ+83 + 3\lambda = 2 - 4\lambda + 8
3+3λ=10−4λ3 + 3\lambda = 10 - 4\lambda
7λ=77\lambda = 7
λ=1\lambda = 1

Ahora, sustituimos el valor de λ=1\lambda = 1 en la expresión de μ\mu:

μ=2(1)−4=2−4=−2\mu = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2

Con los valores de λ=1\lambda = 1 y μ=−2\mu = -2, podemos sustituirlos en la ecuación (1) para encontrar aa:

−3+2(1)=1+(a−1)(−2)-3 + 2(1) = 1 + (a - 1)(-2)
−1=1−2a+2-1 = 1 - 2a + 2
−1=3−2a-1 = 3 - 2a
2a=3+12a = 3 + 1
2a=42a = 4
a=2a = 2

Finalmente, para encontrar el punto de corte, sustituimos λ=1\lambda = 1 en las ecuaciones paramétricas de rr (o μ=−2\mu = -2 y a=2a = 2 en las de ss):

x=−3+2(1)=−1x = -3 + 2(1) = -1
y=−4+2(1)=−2y = -4 + 2(1) = -2
z=3+3(1)=6z = 3 + 3(1) = 6

El punto de corte es C(−1,−2,6)C(-1, -2, 6).