T4: Óptica · Lentes delgadas — FISICA PEvAU Andaluc%2525C3%2525ADa 2022

Lentes delgadas

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

C1-b

b) Una lente divergente produce una imagen

3

veces menor que el objeto cuando la separación entre la imagen y el objeto es de

64 \text{ cm}

. Determine, indicando el criterio de signos utilizado, las posiciones del objeto y de la imagen, así como la distancia focal de la lente y realice el trazado de rayos correspondiente.

Ópticalentes divergentesAumento lateral

b) Determine, indicando el criterio de signos utilizado, las posiciones del objeto y de la imagen, así como la distancia focal de la lente y realice el trazado de rayos correspondiente.

Criterio de signos utilizado (Sistema Cartesiano):1. Todas las distancias se miden desde el centro óptico de la lente.2. Las distancias medidas en la dirección de propagación de la luz (hacia la derecha) se consideran positivas. Las distancias medidas en la dirección opuesta (hacia la izquierda) se consideran negativas.3. Las alturas por encima del eje óptico son positivas; por debajo, negativas.De acuerdo con este criterio, para una lente divergente y un objeto real:- Distancia objeto ( $u$ ): Negativa (objeto a la izquierda de la lente).- Distancia imagen ( $v$ ): Negativa (imagen virtual a la izquierda de la lente).- Distancia focal ( $f$ ): Negativa para lentes divergentes.- Aumento lateral ( $M$ ): Positivo para imágenes derechas (virtuales).Datos del problema:La lente es divergente y produce una imagen $3$ veces menor que el objeto. Esto implica que el aumento lateral $M$ es positivo (la imagen es virtual y derecha) y su valor es $1/3$ .

M = \frac{h'}{h} = \frac{1}{3}

La relación del aumento lateral con las distancias objeto e imagen es:

M = \frac{v}{u}

Sustituyendo el valor de $M$ :

\frac{1}{3} = \frac{v}{u} \implies v = \frac{u}{3}

La separación entre la imagen y el objeto es de $64 \text{ cm}$ . Dado que la lente es divergente y el objeto es real, tanto el objeto ( $u$ ) como la imagen ( $v$ ) se encuentran a la izquierda de la lente. La imagen virtual se forma entre el objeto y la lente. Por lo tanto, la separación es la distancia entre sus posiciones:

|v - u| = 64 \text{ cm}

Sabemos que la imagen virtual de una lente divergente es siempre más cercana a la lente que el objeto, por lo que $v$ está más cerca del origen que $u$ (es decir, $v > u$ ya que ambos son negativos). Así, la diferencia de posiciones $v-u$ será positiva. Por tanto:

v - u = 64 \text{ cm}

Ahora sustituimos $v = u/3$ en esta ecuación:

\frac{u}{3} - u = 64

\frac{u}{3} - \frac{3u}{3} = 64

-\frac{2u}{3} = 64

u = \frac{64 \times (-3)}{2} = -32 \times 3 = -96 \text{ cm}

Esta es la posición del objeto. Ahora calculamos la posición de la imagen:

v = \frac{u}{3} = \frac{-96 \text{ cm}}{3} = -32 \text{ cm}

Las posiciones son: objeto $u = -96 \text{ cm}$ y imagen $v = -32 \text{ cm}$ .Ahora, utilizamos la ecuación de las lentes delgadas para determinar la distancia focal $f$ :

\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}

Sustituyendo los valores de $u$ y $v$ :

\frac{1}{-32 \text{ cm}} - \frac{1}{-96 \text{ cm}} = \frac{1}{f}

-\frac{1}{32} + \frac{1}{96} = \frac{1}{f}

Para sumar las fracciones, encontramos un denominador común (96):

-\frac{3}{96} + \frac{1}{96} = \frac{1}{f}

-\frac{2}{96} = \frac{1}{f}

-\frac{1}{48} = \frac{1}{f}

f = -48 \text{ cm}

La distancia focal de la lente divergente es de $-48 \text{ cm}$ , lo cual es consistente con una lente de este tipo (focal negativa).El trazado de rayos se realiza utilizando tres rayos principales:1. Un rayo que incide paralelo al eje óptico se refracta de tal manera que su prolongación pasa por el primer foco $F$ (situado a $u=-48 \text{ cm}$ ). Esto es, el foco que está en el mismo lado que el objeto.2. Un rayo que pasa por el centro óptico de la lente no se desvía.3. Un rayo que se dirige hacia el segundo foco $F'$ de la lente (situado a $v=+48 \text{ cm}$ ) se refracta y sale paralelo al eje óptico. La prolongación de este rayo también contribuye a la formación de la imagen.La intersección de estos rayos refractados (o sus prolongaciones) forma la imagen. Para una lente divergente con objeto real, la imagen es siempre virtual, derecha y menor.