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T5: Física moderna
Hipótesis de De Broglie
Teoría
2026 · Ordinaria · Titular
D-a2
Examen
a2) Un protón tiene una masa 1,9 veces mayor que la de un mesón K. Razone: i) si tuviesen la misma longitud de onda asociada de De Broglie, ¿cuál de ellos tendría menor velocidad?; ii) si tuviesen la misma velocidad, ¿cuál de ellos tendría menor longitud de onda asociada?
Longitud de onda de De BroglieMasaVelocidad

La longitud de onda de De Broglie se define como:

λ=hp=hm⋅v\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m \cdot v}

donde hh es la constante de Planck, mm la masa y vv la velocidad de la partícula. Sabemos que mp=1,9⋅mKm_p = 1{,}9 \cdot m_K, por lo que el protón es más masivo que el mesón K.

i) Misma longitud de onda asociada (λp=λK\lambda_p = \lambda_K):

Si λ\lambda es la misma para ambas partículas:

hmp⋅vp=hmK⋅vK\frac{h}{m_p \cdot v_p} = \frac{h}{m_K \cdot v_K}
mp⋅vp=mK⋅vK  ⟹  vp=mKmp⋅vK=mK1,9⋅mK⋅vK=vK1,9m_p \cdot v_p = m_K \cdot v_K \implies v_p = \frac{m_K}{m_p} \cdot v_K = \frac{m_K}{1{,}9 \cdot m_K} \cdot v_K = \frac{v_K}{1{,}9}

Como vp=vK1,9<vKv_p = \dfrac{v_K}{1{,}9} < v_K, el protón tendría menor velocidad. Al ser más masivo, necesita menos velocidad para tener el mismo momento lineal y, por tanto, la misma longitud de onda de De Broglie.

ii) Misma velocidad (vp=vK=vv_p = v_K = v):
λp=hmp⋅v=h1,9⋅mK⋅v\lambda_p = \frac{h}{m_p \cdot v} = \frac{h}{1{,}9 \cdot m_K \cdot v}
λK=hmK⋅v\lambda_K = \frac{h}{m_K \cdot v}
λpλK=11,9  ⟹  λp=λK1,9<λK\frac{\lambda_p}{\lambda_K} = \frac{1}{1{,}9} \implies \lambda_p = \frac{\lambda_K}{1{,}9} < \lambda_K

El protón tendría menor longitud de onda asociada. Al ser más masivo y tener la misma velocidad, tiene mayor momento lineal, y por tanto su longitud de onda de De Broglie es menor. En general, a mayor masa con igual velocidad, menor longitud de onda.