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T1: Interacción gravitatoria
Energía y potencial gravitatorio
Problema
2016 · Ordinaria · Titular
3A-b
Examen

Dos partículas de masas m1=3 kgm_1 = 3 \text{ kg} y m2=5 kgm_2 = 5 \text{ kg} se encuentran situadas en los puntos P1(−2,1) mP_1(-2,1) \text{ m} y P2(3,0) mP_2(3,0) \text{ m}, respectivamente.

b) Calcule el trabajo realizado para desplazar otra partícula de 2 kg2 \text{ kg} desde el punto O(0,0) mO(0,0) \text{ m} al punto P(3,1) mP(3,1) \text{ m}. Justifique si es necesario especificar la trayectoria seguida en dicho desplazamiento.

G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

TrabajoEnergía potencialCampo conservativo
b) Cálculo del trabajo para desplazar una partícula de m=2m = 2 kg desde O(0,0)O(0,0) m hasta P(3,1)P(3,1) m.

La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, por lo que el trabajo realizado es independiente de la trayectoria seguida. Basta con calcular la diferencia de energía potencial gravitatoria entre el punto final e inicial.El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria al desplazar la masa mm viene dado por:

W=−(Ep,P−Ep,O)=Ep,O−Ep,PW = -(E_{p,P} - E_{p,O}) = E_{p,O} - E_{p,P}

La energía potencial gravitatoria de la masa m=2m = 2 kg debida a m1m_1 y m2m_2 en un punto genérico es:

Ep=−Gm1⋅mr1−Gm2⋅mr2E_p = -G\frac{m_1 \cdot m}{r_1} - G\frac{m_2 \cdot m}{r_2}
Cálculo de distancias desde el punto O(0,0)

Distancia de OO a P1(−2,1)P_1(-2,1):

r1O=(−2−0)2+(1−0)2=4+1=5≈2,236 mr_{1O} = \sqrt{(-2-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} \approx 2{,}236 \text{ m}

Distancia de OO a P2(3,0)P_2(3,0):

r2O=(3−0)2+(0−0)2=9=3 mr_{2O} = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ m}
Cálculo de distancias desde el punto P(3,1)

Distancia de PP a P1(−2,1)P_1(-2,1):

r1P=(3−(−2))2+(1−1)2=25=5 mr_{1P} = \sqrt{(3-(-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Distancia de PP a P2(3,0)P_2(3,0):

r2P=(3−3)2+(1−0)2=1=1 mr_{2P} = \sqrt{(3-3)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1} = 1 \text{ m}
Energía potencial en O
Ep,O=−Gm1⋅mr1O−Gm2⋅mr2OE_{p,O} = -G\frac{m_1 \cdot m}{r_{1O}} - G\frac{m_2 \cdot m}{r_{2O}}
Ep,O=−6,67×10−11⋅3⋅25−6,67×10−11⋅5⋅23E_{p,O} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3 \cdot 2}{\sqrt{5}} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{5 \cdot 2}{3}
Ep,O=−6,67×10−11⋅62,236−6,67×10−11⋅103E_{p,O} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{6}{2{,}236} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{10}{3}
Ep,O=−6,67×10−11⋅2,683−6,67×10−11⋅3,333E_{p,O} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 2{,}683 - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 3{,}333
Ep,O=−1,789×10−10−2,222×10−10=−4,011×10−10 JE_{p,O} = -1{,}789 \times 10^{-10} - 2{,}222 \times 10^{-10} = -4{,}011 \times 10^{-10} \text{ J}
Energía potencial en P
Ep,P=−Gm1⋅mr1P−Gm2⋅mr2PE_{p,P} = -G\frac{m_1 \cdot m}{r_{1P}} - G\frac{m_2 \cdot m}{r_{2P}}
Ep,P=−6,67×10−11⋅3⋅25−6,67×10−11⋅5⋅21E_{p,P} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{3 \cdot 2}{5} - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot \frac{5 \cdot 2}{1}
Ep,P=−6,67×10−11⋅1,2−6,67×10−11⋅10E_{p,P} = -6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 1{,}2 - 6{,}67 \times 10^{-11} \cdot 10
Ep,P=−8,004×10−11−6,670×10−10=−7,470×10−10 JE_{p,P} = -8{,}004 \times 10^{-11} - 6{,}670 \times 10^{-10} = -7{,}470 \times 10^{-10} \text{ J}
Trabajo realizado
W=Ep,O−Ep,P=−4,011×10−10−(−7,470×10−10)W = E_{p,O} - E_{p,P} = -4{,}011 \times 10^{-10} - (-7{,}470 \times 10^{-10})
W=(−4,011+7,470)×10−10=3,459×10−10 JW = (-4{,}011 + 7{,}470) \times 10^{-10} = 3{,}459 \times 10^{-10} \text{ J}
W≈3,46×10−10 J\boxed{W \approx 3{,}46 \times 10^{-10} \text{ J}}
¿Es necesario especificar la trayectoria?

No es necesario especificar la trayectoria. La fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, lo que significa que el trabajo realizado depende únicamente de las posiciones inicial y final (a través de la diferencia de energía potencial), siendo independiente del camino seguido entre ambos puntos.