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T3: Vibraciones y ondas
Propagación de ondas
Problema
2017 · Ordinaria · Titular
3A-b
Examen
b) Una antena de radar emite en el vacío radiación electromagnética de longitud de onda 0,03 m0,03 \text{ m}, que penetra en agua con un ángulo de incidencia de 20∘20^\circ respecto a la normal. Su velocidad en el agua se reduce al 80%80 \% del valor en el vacío. Calcule el periodo, la longitud de onda y el ángulo de refracción en el agua.

Dato: c=3⋅108 m s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}

RefracciónÍndice de refracciónLongitud de onda
b) Cálculo del periodo, longitud de onda y ángulo de refracción en el agua.

Datos conocidos:

Longitud de onda en el vacío: λ0=0,03 m\lambda_0 = 0{,}03 \text{ m}Ángulo de incidencia: θ1=20∘\theta_1 = 20^\circVelocidad en el agua: vagua=0,80⋅c=0,80×3⋅108=2,4⋅108 m/sv_{agua} = 0{,}80 \cdot c = 0{,}80 \times 3 \cdot 10^8 = 2{,}4 \cdot 10^8 \text{ m/s}
1. Periodo de la radiación

El periodo es una propiedad de la onda que NO cambia al cambiar de medio. Se calcula a partir de la velocidad y la longitud de onda en el vacío:

T=λ0cT = \frac{\lambda_0}{c}
T=0,03 m3⋅108 m/s=1⋅10−10 sT = \frac{0{,}03 \text{ m}}{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}} = 1 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El periodo es T=1⋅10−10T = 1 \cdot 10^{-10} s (= 0,1 ns).

2. Longitud de onda en el agua

Al entrar en el agua, la frecuencia (y el periodo) permanecen constantes, pero la velocidad disminuye, por lo que la longitud de onda también disminuye:

λagua=vagua⋅T\lambda_{agua} = v_{agua} \cdot T
λagua=2,4⋅108 m/s×1⋅10−10 s=0,024 m\lambda_{agua} = 2{,}4 \cdot 10^8 \text{ m/s} \times 1 \cdot 10^{-10} \text{ s} = 0{,}024 \text{ m}

Alternativamente, como la velocidad se reduce al 80%: λagua=0,80⋅λ0=0,80×0,03=0,024\lambda_{agua} = 0{,}80 \cdot \lambda_0 = 0{,}80 \times 0{,}03 = 0{,}024 m.

3. Ángulo de refracción en el agua

Se aplica la Ley de Snell. El índice de refracción del agua es:

nagua=cvagua=3⋅1082,4⋅108=1,25n_{agua} = \frac{c}{v_{agua}} = \frac{3 \cdot 10^8}{2{,}4 \cdot 10^8} = 1{,}25

La Ley de Snell entre vacío (n1=1n_1 = 1) y agua (n2=1,25n_2 = 1{,}25):

n1⋅sin⁡θ1=n2⋅sin⁡θ2n_1 \cdot \sin\theta_1 = n_2 \cdot \sin\theta_2
1⋅sin⁡20∘=1,25⋅sin⁡θ21 \cdot \sin 20^\circ = 1{,}25 \cdot \sin\theta_2
sin⁡θ2=sin⁡20∘1,25=0,3421,25=0,2736\sin\theta_2 = \frac{\sin 20^\circ}{1{,}25} = \frac{0{,}342}{1{,}25} = 0{,}2736
θ2=arcsin⁡(0,2736)≈15,9∘\theta_2 = \arcsin(0{,}2736) \approx 15{,}9^\circ
Vacío (n=1)Agua (n=1,25)θr
Resumen de resultados
Periodo: T=1⋅10−10T = 1 \cdot 10^{-10} sLongitud de onda en el agua: λagua=0,024\lambda_{agua} = 0{,}024 mÁngulo de refracción en el agua: θ2≈15,9∘\theta_2 \approx 15{,}9^\circ